数理逻辑4 -- 公理化集合论2

这节笔记就一个个讨论前面提到的公理，穿插它们导致的一些结论。

引理4.2.1：$\vdash M(Z) \land Z = Y \Rightarrow M(Y)$
证明：
1. $M(Z)$，假设
2. $(\exists X)(Z \in X)$，这是1的展开写法
3. $Z \in b$，由2和规则C
4. $Z = Y$，假设
5. $Z \in X \Leftrightarrow Y \in X$，由4、Axiom T和MP
6. $(\forall X)(Z \in X \Leftrightarrow Y \in X)$，由5和Gen规则
7. $Z \in b \Leftrightarrow Y \in b$，由6和A4
8. $Y \in b$，由3、7、合取消除和MP
9. $(\exists X)(Y \in X)$，由8和规则E4
10. $M(Y)$，这是9的缩写
证毕。

有了引理4.2.1，以下命题很容易证明。
命题4.2：NBG是含等式的理论。
证明：NBG虽然不包含“等式”谓词，但是我们把好式子$X =Y$看成是“等式”。所以只要证明这个版本的A6、A7两条定理，即证$\vdash (\forall X)X=X$和$(X = Y) \Rightarrow (B(X, X) \Rightarrow B(X, Y))$。前者由命题4.1b已得出（加上Gen规则），后者成立只需不含函数符号的原子wf成立即可，也即$(X = Y) \Rightarrow ( X \in Z \Rightarrow Y \in Z)$成立即可，这由Axiom T就可得出。证毕。

引理4.2.2：
a. $\vdash (\forall x)(\forall y)(\exists_1 z)(\forall u)(u \in z \Leftrightarrow u = x \lor u=y)$，存在唯一集合$z$，使得$z$只有$x,y$两个成员。$z$称为$x,y$的“无序对”（unordered pair）
b. $\vdash (\forall X)(M(X) \Leftrightarrow (\exists y)(X \in y))$
c. $\vdash (\exists X)Pr(X) \Rightarrow \neg (\forall Y)(\forall Z)(\exists W)(\forall U)(U \in W \Leftrightarrow U =Y \lor U=Z)$

证明：
a. 存在性由Axiom P直接得出。考虑唯一性，即要证

$$(\forall x)(\forall y)(\forall v)(\forall w)\Big( (\forall u)(u \in v\Leftrightarrow u = x \lor u=y) \land (\forall u)(u \in w \Leftrightarrow u = x \lor u=y) \Rightarrow v=w \Big)$$ 。这个要利用引理4.1.2扩展原则 $\vdash X=Y \Leftrightarrow (\forall z)(z \in X \Leftrightarrow z \in Y)$。不难发现，我们只需证 $$(\nabla) : \ \ (\forall u)(u \in V \Leftrightarrow u = X \lor u=Y) \land (\forall u)(u \in W \Leftrightarrow u = X \lor u=X) \Rightarrow V= W$$ 即可（反复运用A1和Gen，把 $W, V, Y, X$一步步变成 $w, v, y, x$）。考虑式子 $(\nabla)$,
1. $(\forall u)(u \in V \Leftrightarrow u = X \lor u=Y), (\forall u)(u \in W \Leftrightarrow u = X \lor u=Y)$，假设
2. $M(U) \Rightarrow (U \in V \Leftrightarrow U = X \lor U=Y), M(U) \Rightarrow (U \in W \Leftrightarrow U = X \lor U=Y)$，这是1的展开写法
3. $M(U)$，假设
4. $(U \in V \Leftrightarrow U = X \lor U=Y), (U \in W \Leftrightarrow U = X \lor U=Y)$，由2、3和MP
5. $U \in V \Leftrightarrow U \in W$，由4，多次应用传递规则
6. $2, 3 \vdash U \in V \Leftrightarrow U \in W$
7. $2 \vdash M(U) \Rightarrow (U \in V \Leftrightarrow U \in W)$，由6和演绎定理
8. $2 \vdash (\forall u)(u \in V \Leftrightarrow u \in W)$，由7、Gen和集合的缩写形式
9. $2 \vdash V=W$，由8、引理4.1.2和MP
证毕。

b.
b.1 先证从左往右，即$M(X) \Rightarrow (\exists y)(X \in y)$，利用Axiom P
1. (∀x)(∀y)(∃z)(∀