数理逻辑3 -- 形式数论2

接上一节笔记，继续证明一些基本的自然数性质。

命题3.2：对于任意项t,s,r，以下wfs都是S中的定理。
(a) $t=t$
(b) $t=r \Rightarrow r = t$
(c) $t=r \Rightarrow (r=s \Rightarrow t=s)$
(d) $r=t \Rightarrow (s=t \Rightarrow r=s)$
(e) $t=r \Rightarrow t+s = r+s$
(f) $t = 0 + t$
(g) $t'+r = (t+r)'$
(h) $t+r = r+t$
(i) $t=r \Rightarrow s+t=s+r$
(j) $(t+r)+s = t+(r+s)$
(k) $t=r \Rightarrow t\cdot s= r \cdot s$
(l) $0 \cdot t = 0$
(m) $t' \cdot r = t\cdot r + r$
(n) $t \cdot r = r \cdot t$
(o) $t = r \Rightarrow s\cdot t = s\cdot r$

证明：
(a)
1. $(t+0=t) \Rightarrow \big( (t+0=t) \Rightarrow (t=t) \big)$，由(S1)，注：由引理3.1可得(S1-S8)对项也成立，以后直接引用(S1-S8)
2. $t+0=t$，由S5
3. $t=t$，由1，2和应用两次MP
证毕

(b)
1. $t=r \Rightarrow (t=t \Rightarrow r=t)$，由S1
2. $t=r$，假设
3. $t=t \Rightarrow r=t$，由1，2和MP
4. $t=t$，由命题3.2(a)
5. $r=t$，由3，4和MP
6. $t=r \vdash r=t$，有2-5
7. $\vdash t=r \Rightarrow r=t$，由演绎定理
证毕

(c)
1. $r=t \Rightarrow (r=s \Rightarrow t=s)$，由S1
2. $t=r \Rightarrow r=t$，由命题3.2b
3. $t=r \Rightarrow (r=s \Rightarrow t=s)$，由1，2和”传递规则“
证毕

(d)
1. $r=t$，$s=t$，假设
2. $t=r$, $t=s$，由1和命题3.2b，加上MP
3. $r=s$，由2和S1，加上两次MP
4. $r=t, s=t \vdash r=s$，由1-3
5. $r=t \Rightarrow (s=t \Rightarrow r=s)$，由4和演绎定理
证毕

(e) 记$B(x)$为$t=r \Rightarrow t+x = r + x$。
首先，证$B(0)$成立，即$t=r \Rightarrow t+0 = r + 0$。
1. $t+0 = t$, $r+0 = r$，由S5
2. $t = r$，假设
3. $t +0 =r$，由1，2和命题3.2c，加上两次MP
4. $t+0= r+0$，由1，3和命题3.2c，加上两次MP
5. $t = r \vdash t+0 = r+0$，由2-4
6. $\vdash t=r \Rightarrow t+0 = r+0$，有5和演绎定理
$B(0)$证毕

接着证$(\forall x)[B(x) \Rightarrow B(x')]$成立，即$(\forall x)[(t=r \Rightarrow t+x=r+x) \Rightarrow (t=r \Rightarrow t+x' = r+x')]$
1. $t=r \Rightarrow t+x = r+x$，假设
2. $t+x = r+x \Rightarrow (t+x)' = (r+x)'$，由S2
3. $t = r \Rightarrow (t+x)' = (r+x)'$，由1，2和传递规则
4. $t+x' = (t+x)'$，$r+x' = (r+x)'$，由S6
5. $(t+x)' = (r+x)'$，假设
6. $(t+x)' = r+x'$，由4，5和命题3.2d，加两次MP
7. $t+x' = r+x'$，由4，6和命题3.2c，加两次MP
8. $(t+x)' = (r+x)' \vdash t+x' = r+x'$，由5，6，7
9. $\vdash (t+x)' = (r+x)' \Rightarrow t+x' = r+x'$，由8和演绎定理
10. $t= r \Rightarrow t+x' = r+x'$，由3，9和传递规则
11. $(t=r \Rightarrow t+x = r+x) \Rightarrow (t= r \Rightarrow t+x' = r+x')$，由1-10和演绎定理
12. $(\forall x) [(t=r \Rightarrow t+x = r+x) \Rightarrow (t= r \Rightarrow t+x' = r+x')]$，由11和Gen
$(\forall x)[B(x) \Rightarrow B(x')]$证毕

最后，由S9的数学归纳原则，加上前两步和两次MP，可得出$(\forall x) (t=r \Rightarrow t+x = r +x)$。再运用规则A4，可得出$t=r \Rightarrow t+s = r+x$（这之中找一个s不包含的变量符号x即可）。
证毕

(f) 还得用归纳法。
记$B(x)$为$0+x = x$。
首先，因为由S5得$t+0=t$，所以$0+0=0$，因此$B(0)$成立。
然后，证$0+x = x \Rightarrow 0 +x' = x'$
1. $0 +x = x$，假设
2. $(0+x)' = x'$，由1和S2，再加MP
3. $0 + x' = (0+x)'$，由S6
4. $0+x' = x'$，由4，5和传递规则
5. $0+x = x \Rightarrow 0 +x' = x'$，由1-4和演绎定理
最后，应用S9和规则A4即可。
证毕

(g) 用归纳法，记$B(x)$为$t'+x=(t+x)'$
首先,$t'+0=t'$,$(t+0)'=t'$，由S5和S2，所以由传递规则可得$t+0'=(t+0)'$。因此,$B(0)$成立。
然后，假设$B(x)$成立，即$t'+x=(t+x)'$。
1. $t'+x=(t+x)'$，假设
2. $(t+x)'=t'+x$，由1和命题3.2b，和MP
3. $t+x'=t'+x$，由2和S6
4. $(t+x')' = (t'+x)'$，由3和S2
5. $(t'+x)' = t'+x'$，由S6
6. $(t+x')'=t'+x'$，由4、5和传递规则
7. $t'+x'=(t+x')'$，由6和命题3.2b
8. $B(x) \vdash B(x')$
由演绎定理可得$\vdash B(x)\Rightarrow B(x')$
再根据Gen和一些技巧，应用S9归纳法规则，可得$t'+r=(t+r)'$。
证毕

(h) 用归纳法，记$B(x)$为$t+x = x+t$。
首先，$t+0=t$，$t=0+t$，由S5和命题3.2f。所以，$t+0=0+t$，由传递退则。因此，$B(0)$成立
然后，证明$B(x) \Rightarrow B(x')$
1. $t+x=x+t$，假设
2. $(t+x)'=(x+t)'$，由1和S2
3. $t+x'=(t+x)'$，由S6
4. $t+x'=(x+t)'$，由2、3和传递规则
5. $x'+t=(x+t)'$，由命题3.2g
6. $(x+t)'=x'+t$，由命题3.2b
7. $t+x' = x'+t$，由4、6和传递规则
8. $t+x=x+t \vdash t+x'=x'+t$，
9. $\vdash B(x)\Rightarrow B(x')$
所以，再用S9即可。
证毕

(i)
1. $t=r$，假设
2. $t=r \Rightarrow t+s = r+s$，由命题3.2e
3. $t+s=r+s$，由1、2和MP
4. $r+s = s+r$，由3和命题3.2h，“加法交换律”
5. $t+s = s+r$，由3、4和传递规则
6. $s+t = t+s$，由命题3和命题3.2h，加法交换律
7. $s+t=s+r$，由5、6和传递规则
8. $t=r \vdash s+t=s+r$，由1-7
9. $\vdash t=r \Rightarrow s+t=s+r$，演绎定理
证毕

(j) 用归纳法，记$B(x)$为$(t+r)+x = t + (r+x)$。
首先，$(t+r)+0 = t+r$，$t+(r+0) = t+r$，所以$(t+r)+0 = t+(r+0)$，因此$B(0)$成立。
然后，假设$B(x)$成立。
1. $(t+r)+x = t+(r+x)$，假设
2. $((t+r)+x)' = (t+(r+x))'$，由1和S2
3. $(t+r)+x'= t+(r+x)'$，由S6和命题3.2g
4. $(r+x)' = r+x'$，由S6和命题3.2b
5. $t+(r+x)' =t + (r+x')$，由命题3.2i
6. $(t+r)+x'=t+(r+x')$，由3、5和传递规则
7. $B(x) \vdash B(x')$，由1-6
再根据演绎定理、Gen和S9，加上一些技巧即可。
证毕。

(k) 用归纳法，记$B(x)$为$t=r \Rightarrow t\cdot x = r\cdot x$
首先, $t\cdot 0 =0$，$0 = r \cdot 0$，由S7和命题3.2b，所以$t \cdot 0 = r\cdot 0$。再根据好久没用的A1，可得$t=r \Rightarrow t\cdot 0 = r\cdot 0$，因此$B(0)$成立。
然后，假设$B(x)$成立，
1. $t=r$，假设
2. $t = r \Rightarrow t=r \Rightarrow t\cdot x = r\cdot x$，假设$B(x)$成立
3. $t \cdot x = r\cdot x$，由1、2和MP
4. $(t\cdot x)+t = (r\cdot x) + t$，由3和命题3.2e、i
5. $(r\cdot x)+t = (r\cdot x)+r$，由1和命题3.2e、i
6. $(t\cdot +x)+t = (r\cdot x)+r$，由4、5和传递退则
7. $t\cdot x' = r\cdot x'$，由6和S8,加上一堆“传递规则”和“交换规则”
8. $t=r, t=r\Rightarrow t\cdot x = r\cdot x \vdash t\cdot x' = r\cdot x'$，由1-7
9. $B(x )\vdash t=r \Rightarow t \cdot x' = r\cdot x'$，由演绎定理
再根据一些技巧和S9即可。
证毕

(l) 用归纳法，记$B(x)$为$0\cdot x=0$。
首先，$0 \cdot 0 = 0$，由S7。
然后，假设$B(x)$成立
1. $0 \cdot x = 0$，假设
2. $0 \cdot x + 0 = 0 + 0$， 命题3.2e、i
3. $0 + 0 = 0$，由S5
4. $0 \cdot x + 0 = 0$，由2、3和传递规则
5. $0 \cdot x' = 0 \cdot x + 0$，由S8
6. $0 \cdot x' = 0$，由4、5和传递规则
7. $0 \cdot x =0 \vdash 0 \cdot x' = 0$，由1-6
8. $\vdash B(x) \Rightarrow B(x')$
老技巧。
证毕

(m) 用归纳法，记$B(x)$为$t'\cdot x = t\cdot x + x$
首先，$t'\cdot 0 = 0$，$t\cdot 0 + 0 = 0$，所以$B(0)$成立。
然后，假设$B(x)$成立
1. $t'\cdot x = t \cdot x + x$，假设
2. $t' \cdot x + t' = (t \cdot x +x)+t'$，由1和命题3.2e、i
3. $t'\cdot x' = (t \cdot x +x )+ t'$，由2和S8，传递规则
4. $t' \cdot x' = t \cdot x + (x+t')$，由4和命题3.2j
5. $t' \cdot x' = t\cdot x + (t+x)'$，由4和命题3.2e、i、g
6. $t' \cdot x' = t \cdot x + (t+x')$，由5和命题3.2e、i，加上S6
7. $t' \cdot x' = (t \cdot x + t) + x'$，由6和命题3.2j，加法结合律
8. $t' \cdot x' = t\cdot x' + x'$，由7和S8
9. $B(x) \vdash B(x')$，由1-8
证毕

(n) 用归纳法，记$B(x)$为$t\cdot x = x \cdot t$。
首先，$t\cdot 0 = 0$，$0 \cdot t = 0$，所以$B(0)$成立。
然后，假设$B(x)$成立，
1. $t\cdot x = x\cdot t$，假设
2. $t \cdot x' = t\cdot x + t$，由S8
3. $t\cdot x+ t = x\cdot t + t$，由1和命题3.2e、i
4. $t \cdot x' = x \cdot t + t$，由2、3和传递规则
5. $x \cdot t+ t = x' \cdot t$，由命题3.2m
6. $t \cdot x' = x' \cdot t$，由4、5和传递规则
7. $B(x) \vdash B(x')$，由1-6
证毕

(o) 这次直接来了。
1. $t =r$,假设
2. $t\cdot s = r\cdot s$，由1和命题3.2k，加上MP
3. $s \cdot t = t \cdot s$，由命题3.2n
4. $s \cdot t = r \cdot s$，由2、3和传递规则
5. $r \cdot s = s \cdot r$，由命题3.2n
6. $s \cdot t = s\cdot r$，由4、5和传递规则
7. $t = r \Rightarrow s\cdot t = s\cdot r$,由1-6
8. $\vdash t=r \Rightarrow s\cdot t = s\cdot r$，演绎定理
证毕

太长了，下一节继续。