Codeforces_9D_How many trees?

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本文深入探讨了给定高度h时，由n个结点组成的二叉搜索树的数量，通过动态规划的方法计算不同结点数量下高度为h的二叉搜索树的总数。详细介绍了如何根据结点分布来确定树的高度，并提供了求解过程及代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意：给定高度h，并由n个结点编号为(1 ~ n)，组成的二叉搜索数，高度比h高的数目
解题思路：
设dp[n][h]为n个结点组成高度为h的搜索二叉数的数目
1.设m为搜索二叉树的root结点，那么搜索二叉数的左子树的结点数为m-1,右子数的结点数为n-m
2.要使得该二叉搜索树的高度为h,那么考虑如下两种情况
       2.1 左子树的高度 = h-1, 则右子树的高度可以为任意的[0, n-1]， 这种情况下二叉搜索树的数目为: left_cnt = dp[m-1][h-1]*Sum{dp[n-m][i]},（0 <= i <= h-1）
       2.2 左子树的高度 < h-1, 则右子树的高度 = h-1, 这中情况下的二叉搜索树的数目为： right_cnt = dp[n-m][h-1]*Sum{dp[m-1][i]},(0 <= i <= h-2)
3.dp[n][h] = Sum(left_cnt+right_cnt） （1 <= m <= n)
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

#define MAXN    36

__int64 dp[MAXN][MAXN];

void draw_table(void)
{
        __int64 left_sum, right_sum;
        memset(dp, 0, sizeof(dp)); dp[0][0] = 1;
        for(int n = 1; n < MAXN; n ++) {
                for(int h = 1; h <= n; h ++) {
                        for(int m = 1; m <= n; m ++) {
                                left_sum = right_sum = 0;
                                for(int i = 0; i < h; i ++) {
                                        left_sum += dp[n-m][i];
                                }
                                dp[n][h] += left_sum*dp[m-1][h-1];

                                for(int i = 0; i < h-1; i ++) {
                                        right_sum += dp[m-1][i];
                                }
                                dp[n][h] += right_sum*dp[n-m][h-1];
                        }
                }
        }
}

int main(int argc, char const *argv[])
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
        freopen("test.in", "r", stdin);
#endif
        draw_table();
        int n, h;
        __int64 rst;
        while( ~scanf("%d %d", &n, &h) ) {
                rst = 0;
                for(int i = h; i <= n; i ++) {
                        rst += dp[n][i];
                }
                printf("%I64d\n", rst);
        }
        return 0;
}