梯度下降 (Gradient Descent)

1. 背景介绍

1.1 机器学习中的优化问题

机器学习的核心任务之一是找到一个模型，该模型能够以最佳的方式拟合给定的数据。这个过程通常涉及到优化一个损失函数，该函数衡量模型预测值与实际值之间的差异。梯度下降是一种广泛使用的优化算法，用于找到损失函数的最小值，从而确定最佳模型参数。

1.2 梯度下降的直观理解

想象一下，你正站在山顶，想要找到下山的最快路径。梯度下降就像是一个指南针，它告诉你应该朝哪个方向走才能最快地到达山谷。这个指南针的方向就是梯度，它指向函数值下降最快的方向。

1.3 梯度下降的历史

梯度下降算法最早由法国数学家柯西 (Augustin-Louis Cauchy) 在19世纪提出。在20世纪50年代，它被广泛应用于数值计算领域。随着机器学习的兴起，梯度下降成为了训练各种机器学习模型的关键算法。

2. 核心概念与联系

2.1 梯度

梯度是一个向量，它指示函数在某一点变化最快的方向。对于一个多元函数 $f(x_1, x_2, ..., x_n)$，其梯度为：

$$ \nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1}, \frac{\partial f}{\partial x_2}, ..., \frac{\partial f}{\partial x_n}\right) $$

2.2 学习率