树状数组

最新推荐文章于 2020-07-23 15:25:30 发布

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本文介绍了树状数组的基本概念及其在数组求和问题上的应用。通过分析树状数组的构造原理和特点，文章提供了求和、更新操作的具体算法，并附带代码实现。适合于对数据结构有一定了解的学习者。

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如果给定一个数组，要你求里面所有数的和，一般都会想到累加。但是当那个数组很大的时候，累加就会显得太耗时了，时间复杂度为O(n)，并且采用累加的方法还有一个局限，那就是，当修改掉数组中的元素后，仍然要你求数组中某段元素的和，就显得麻烦了。所以我们就要用到树状数组，它的时间复杂度为O(lgn)，相比之下就快得多。下面就讲一下什么是树状数组：

一般讲到树状数组都会少不了下面这个图：

下面来分析一下上面那个图看能得出什么规律：

据图可知：c1=a1，c2=a1+a2，c3=a3，c4=a1+a2+a3+a4，c5=a5，c6=a5+a6，c7=a7，c8=a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8。

分析上面的几组式子可知，当i为奇数时，ci=ai；当i为偶数时，就要看i的因子中最多有二的多少次幂，例如，6的因子中有2的一次幂，等于2，所以a6=a5+a6(由6向前数两个数的和)，4的因子中有2的两次幂，等于4，所以c4=a1+a2+a3+a4(由4向前数四个数的和)。

(一)有公式：cn=a(n-2^k+1)+ …… +an (其中k为n的二进制表示中从右向左数的0的个数)。

那么，如何求2^k呢？球阀如下：

int lowbit(int x) {
    return x & (-x);
}

lowbit()的返回值就是2^k次方的值。

求出来2^k之后，数组c的值就都出来了，接下来我们求数组中所有元素的和。

(二)求数组的和的算法如下：

(1)首先，令sum=0，转向第二步；

(2)接下来判断，如果n>0的话，就令sum=sum+cn转向第三步，否则的话，终止算法，返回sum的值；

(3)n=n-lowbit(n) (将n的二进制表示的最后一个零删掉)，回第二步。

代码实现：

int sum(int n) {
    int sum = 0;
    while(n > 0) {
        sum += c[n];
        n = n- lowbit(n);
    }
    return sum;
}

(三)当数组中的元素有变更时，树状数组就发挥它的优势了，算法如下(修改为给某个节点i加上x)：

(1)当i<=n时，执行下一步；否则的话，算法结束；

(2)ci=ci+x，i=i+lowbit(i) (在i的二进制表示的最后加零)，返回第一步。

代码实现：

void change(int i, int x) {
    while(i <= n) {
        c[i] = c[i] + x;
        i = i + lowbit(i);
    }
}

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