多项式整除

最新推荐文章于 2024-02-03 12:38:08 发布
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分类专栏： 高等袋鼠
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本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/universe_1207/article/details/100888651
本文介绍了数域P上的一元多项式环P[x]，详细阐述了带余除法的概念，确保存在唯一商q(x)和余数r(x)，使得f(x)=q(x)g(x)+r(x)。同时，定义了整除的性质，讨论了因式与倍式的关系，并证明了整除的传递性。

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[学习笔记]多项式的整除、取模、多点求值和插值及常系数线性递推
女装的你，如此好看！
09-25 2756
一、开头 （ WC2019 神犇协会） undefeatedKO ： NOI2017 的题大家都 AK 了吗？ All ： AK 了！ ION ：我们穿越到 2019 年的 WC 怎么样？ olis ：好啊！听说一个弱鸡 xyz32768 要来 WC ，我们一到就把他 D 一遍，这样他 WC2019 不爆零才怪呢！ （ WC2019 ） VFN ：我们刚刚 A 掉了分身术这题。考虑到你比较菜，我就...
一元多项式整除
jiongjiong 的专栏
01-21 1275
多项式整除的性质 性质1 对于任意两个多项式 f(x),g(x),f \left (x \right ) ,g \left (x \right ), 其中 g(x)≠0,g\left (x \right ) \neq 0, 由带余除法， 存在多项式 q(x),r(x),q \left (x \right ) ,r \left (x \right ), 使得 f(x)=q(x)g(
高等代数(一)-多项式03：整除的概念
u013250861的博客
02-03 1778
但是乘法的逆运算------除法并不是普遍可以做的.因之整除就成了两个多项式之间的一种特殊的关系.最后我们指出, 两个多项式之间的整除关系不因为系数域的扩大而改变.零次多项式, 也就是非零常数,能整除任一个多项式,因为当。也能用一个多项式去除另一个多项式,求得商和余式.例如,设。所得的商式及余式都是一样的. 因此, 如果在。有相同的因式, 也有相同的倍式. 因之,中的多项式.从带余除法可以看出, 不论把。时,带余除法给出了整除性的一个判别法.中进行的, 以后就不每次重复说明了.
一元多项式的除法
10-12
数据结构中的一元多项式的除法，用单向链表实现，也涉及到一元多项式的加法等等。
高等代数 多项式环(第7章)1 一元多项式环,整除关系,带余除法
weixin_46131409的博客
08-11 9281
一.一元多项式环 二.整除关系与带余除法 三.最大公因式
多项式除法的C语言实现
qq_43100483的博客
11-02 5568
整系数多项式的基本运算 问题的引出 在该博客中我将着手解决这样一个问题，在求解模素数ppp的同余式： f(x)=anxn+⋯+a1x+a0≡0(modp) f(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0\equiv0\left(modp\right) f(x)=an​xn+⋯+a1​x+a0​≡0(modp) 时，其中ana_nan​恒不为零. 通常需要借助费马小定理和多项式的欧几里得除法将上述一个复杂的问题转化为一个次数更低的模素数同余式。 具体来说，由费马小定理可知，多项式xp−x(modp)x
信息安全数学基础-许春香-第五章 多项式环与有限域.ppt
08-08
多项式整除是指存在q(x) ∈ F[x]，使g(x) = q(x)f(x)，则称f(x)整除g(x)。多项式整除具有以下性质： 1. f(x) ≠ 0； 2. c ∈ F，cf(x) ≠ 0； 3. 如果f(x)整除g(x)，则cf(x)整除g(x)； 4. 如果f(x)整除g(x)，g(x)...
初等数论--整除--线性组合与最大公因数之间的关系
qq_41545715的博客
10-21 2576
信息安全数学基础--整除--线性组合与最大公因数之间的关系 设a,b是两个不全为零的整数，则(a,b)=min设a,b是两个不全为零的整数，则(a,b)=min设a,b是两个不全为零的整数，则(a,b)=min{s:s=ax+by,∀x,y∈Z,s>0s:s=ax+by,{\forall}x,y\in Z,s>0s:s=ax+by,∀x,y∈Z,s>0} 证明：证明：证明： 由辗转相除法/欧几里得算法，我们可得(a,b)=at+bs,∃t,s∈Z,现在令d=at′+bs′,t′,s′∈Z,
高等代数 多项式环(第7章)2 公因式,因式分解,重因式
weixin_46131409的博客
08-13 2786
一.公因式与最大公因式 1.公因式与最大公因式 (1)定义: (2)最大公因式的判定: 引理:设f(x),g(x)∈K[x]f(x),g(x)∈K[x]f(x),g(x)∈K[x],如果在K[x]K[x]K[x]中有下述等式成立:f(x)=h(x)g(x)+r(x)(1)f(x)=h(x)g(x)+r(x)\qquad(1)f(x)=h(x)g(x)+r(x)(1)则c(x) ∣ f(x)c(x)\,|\,f(x)c(x)∣f(x)且c(x) ∣ g(x)⇔c(x) ∣ g(x)c(x)\,|\,g
c++单链表 一元多项式求和_多项式因式分解的方法：辗转相除法
weixin_42501130的博客
12-31 1481
设一元多项式 我们是很难解出它的根的，然而我们却需要对它进行因式分解，方法就是辗转相除法，也就是大家很了解的多项式除法。由于有的朋友可能不是很了解这个方法，我们先来介绍它一下。由于大家可能不是很愿意看定理的证明，我就不证了，大家可以在高等代数的第一章里自己学习。举个例子，我们要解方程x³–3x–2=0，这时我大眼一瞪观察出x=–1是其中一个解，也就是说x+1是x³–3x–2的一个因式，它可以写成(...
如何处理格式不规范的一元多项式_多项式I：带余除法与整除
weixin_39658716的博客
12-05 915
本节我们就考研中常考的两点，多项式的带余除法与整除关系进行分析讲解，并且给出大家在考研中，是如何应用带余除法和整除，并且给大家补充了n次单位根的的知识，在其解决整除问题中的应用，大家务必要熟练掌握！！！定理1：（带余除法）对于任意的 则存在唯一的使得岩宝小提示：对于带余除法的证明，请大家务必熟悉，有的多项式证明的题目就直接利用带余除法证明的原理进行说明，详见北大课本第九页. 【例1】已知 求...
最小多项式
热门推荐
qq_45011547的博客
05-22 3万+
根据哈密顿-凯莱定理，任给数域P上的一个n级矩阵A，总可以找到数域P上一个多项式使如果多项式使我们就称以A为根。以A为根的多项式是很多的，其中次数最低的首项系数为1的以A为根的多项式称为A的最小多项式。 讨论如何应用最小多项式来判断一个矩阵能否对角化. 引理1：矩阵A的最小多项式是唯一的。 引理2：设是矩阵A的最小多项式，那么以A为根的充分必要条件是整除. 由此可知，矩阵A的最小多项式是A...
一元多项式的带余除法
jiongjiong 的专栏
01-21 5825
多项式的度 定义 非零多项式 f(x)=∑ni=0aixif \left (x \right ) = \sum _{i = 0} ^ {n} a_i x^i （其中首项 an≠0 a_n \neq 0 ）的度 deg(f(x))=n \deg \left (f \left (x \right ) \right ) = n 性质 f(x)≠0,g(x)≠0⇒deg(f(x)g(
（多项式）因式分解定理（Factor theorem）与多项式剩余定理（Polynomial remainder theorem）（多项式长除法）
08-13 1万+
（多项式的）因式分解定理（factor theorem）是多项式剩余定理的特殊情况，也就是余项为 0 的情形。 0. 多项式长除法（Polynomial long division）Polynomial long division - Wikipedia 1. 因式分解定理Factor theorem该定理表达的是，多项式 f(x)f(x) 存在因子 x−kx-k 当且仅当 f(k)=0f(k
多项式长除法
daizhiyan1的博客
03-27 9571
转自https://www.shuxuele.com/algebra/polynomials-division-long.html 多项式长除法 多项式看起来像这样： 多项式例子 这个多项式有 3 项 除法 有时候可以这样做多项式除法。 但有时用 "长除" 会比较合适（与数字长除法相似） 分子和分母 每部分的多项式有都有名字： 上面的多项式叫分子 下面的多...
多项式的余数定理及其应用
Ivan 的专栏
10-01 7808
多项式的余数定理及其应用(C++) f(x)f(x)f(x) 是一个 $N $ 次多项式： f(x)=a0+a1x+⋯+aNxNf(x) = a_0 + a_1 x + \cdots + a_N x^Nf(x)=a0​+a1​x+⋯+aN​xN 那么 f(x)f(x)f(x) 被 (x−c)(x - c)(x−c) 除得到的商等于 f(c)f(c)f(c)。 也就是如果 f(x)=Q(x)(x−c...
常用本原多项式
皮哥的技术专栏
11-27 2万+
分享一下常用的原本多项式：
数学——本原多项式
lwhaaaa的博客
08-18 3万+
本原多项式定义 一个 m 阶的不可约多项式 f(x)\large f(x)f(x)，如果 f(x)\large f(x)f(x) 整除 xn+1\large x^n+ 1xn+1 的最小正整数 n 满足 n=2m−1\large n=2^m-1n=2m−1 ，则该多项式是本原的。 参考定义（百度上的定义）： 设 f(x)=a0+a1x+a2x2+⋯+anxn\large f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^nf(x)=a0​+a1​x+a2​x2+⋯+an​xn是唯一分解整环D
多项式
最新发布
03-11
<think>好的，我现在需要回答用户关于多项式的数学概念、操作、定义和计算的问题。首先，我需要回顾用户提供的引用内容，确保回答准确。 根据引用[1]、[2]、[3]，多项式的定义是明确的，由变量、系数通过加减乘和幂运算组成的表达式。注意要提到广义定义中单项式和多项式的统称，以及0多项式的情况。需要解释清楚基本结构，比如项、次数等。 接下来是多项式的运算操作，加减乘除。加减法部分要说明合并同类项，乘法部分可能需要提到分配律和展开后的处理，比如二项式定理的例子。除法方面，可能需要提到多项式长除法和余数定理，不过引用中没有详细提及，可能需要依赖已有的知识补充，但要注意不要引入用户未提供的引用内容。 不可约多项式和本原多项式部分，用户提到了引用[4]和[5]。这里需要解释不可约多项式的判断方法，类似素数的穷举法，以及本原多项式的应用，比如在有限域中的使用。同时，引用[5]提到了极小多项式的计算，这部分比较复杂，可能需要使用计算软件，需要提及这一点。 在计算方面，用户提到了使用Python进行求解，比如引用[5]中的例子。可能需要给出一些简单的代码示例，如展开多项式或验证不可约性，但要注意代码的正确性，比如使用sympy库的相关函数。 然后，生成相关问题。根据用户之前的示例，问题应该围绕定义、运算、判断不可约的方法、应用场景等展开。需要确保问题具体且有针对性，帮助用户进一步学习。 最后，检查所有数学表达式是否符合要求，行内公式用$...$，独立公式用$$...$$。确保引用标注正确，比如在提到不可约多项式判断时引用[4]，极小多项式时引用[5]。 现在整理结构，分点回答，保持语言简洁，使用中文，避免专业术语过于密集，适当举例说明。确保每个部分都有对应的引用支持，并且没有添加用户未提供的引用内容。</think>### 多项式的数学概念与操作 #### 一、定义 多项式是由**变量**、**系数**通过加法、减法、乘法及非负整数次幂运算构成的表达式。例如： $$P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1x + a_0$$ 其中： - **项**：如$a_kx^k$，系数$a_k$可以是实数、复数或其他数域中的元素。 - **次数**：最高次项的次数称为多项式的次数，例如$x^3 + 2x$的次数为3。 - **特殊形式**：单个常数（如5）或单个变量（如$x$）也是多项式；0多项式被定义为次数为负无穷大[^3]。 #### 二、基本运算 1. **加减法**：合并同类项，例如： $(3x^2 + 2x) + (x^2 - x) = 4x^2 + x$ 2. **乘法**：通过分配律展开，例如： $(x + 2)(x - 3) = x^2 - x - 6$ 二项式定理是典型的多项式乘法应用： $$(a + b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}a^{n-k}b^k$$ 3. **除法**：多项式长除法用于求商和余式，例如$x^3 ÷ (x - 1)$的余式可通过余数定理快速计算[^1][^2]。 #### 三、不可约多项式与本原多项式 1. **不可约多项式**：在给定数域上无法分解为两个更低次多项式乘积的多项式，类似于整数中的素数。判断方法包括穷举法（如检查是否可被所有低次多项式整除）[^4]。 2. **本原多项式**：常用于有限域（如$GF(2^n)$），满足特定不可约性和生成元性质，例如在纠错编码中的应用。 #### 四、计算与工具 1. **极小多项式**：某个代数数满足的最低次数的首一多项式。计算需通过线性代数方法或符号计算软件（如Python的`sympy`库）[^5]。 ```python from sympy import minimal_polynomial, sqrt # 计算√2的极小多项式 minimal_polynomial(sqrt(2), x) # 输出: x² - 2 ``` 2. **不可约性验证**：使用`sympy.ntheory.factor_.poly_is_irreducible`可直接判断多项式是否不可约。 #### 五、应用场景 - **函数逼近**：泰勒展开用多项式逼近复杂函数。 - **密码学**：有限域上的多项式运算用于加密算法。 - **编码理论**：本原多项式生成循环码，如Reed-Solomon码。 --- ###
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