非常详细LS信道估计推导过程
矩阵求导背景知识
基本的矩阵求导规则如下：
∂
(
x
T
a
)
x
=
∂
(
a
T
x
)
x
=
a
\frac{\partial({\bf x}^T{a})}{{\bf x}}=\frac{\partial(a^T{\bf x})}{{\bf x}}=a
x∂(xTa)=x∂(aTx)=a
∂ ( x T x ) ∂ x = 2 x \frac{\partial(x^Tx)}{\partial x}=2x ∂x∂(xTx)=2x
∂ ( x T A x ) ∂ x = A x + A T x \frac{\partial(x^TAx)}{\partial x}=Ax+A^Tx ∂x∂(xTAx)=Ax+ATx
∂ ( a T x x T b ) ∂ x = a b T x + b a T x \frac{\partial(a^Txx^Tb)}{\partial x}=ab^Tx+ba^Tx ∂x∂(aTxxTb)=abTx+baTx
∂ ( a T x x T b ) ∂ x = ∂ ( x T a b T x ) ∂ x = a b T x + b a T x \frac{\partial(a^Txx^Tb)}{\partial x}=\frac{\partial(x^Tab^Tx)}{\partial x}=ab^Tx+ba^Tx ∂x∂(aTxxTb)=∂x∂(xTabTx)=abTx+baTx
∂ ( a T x b ) ∂ x = a b T \frac{\partial(a^Txb)}{\partial x}=ab^T ∂x∂(aTxb)=abT
∂ ( a T x T b ) ∂ x = b a T \frac{\partial(a^Tx^Tb)}{\partial x}=ba^T ∂x∂(aTxTb)=baT
∂ ( a T x x T b ) ∂ x = a b T x + b a T x \frac{\partial(a^Txx^Tb)}{\partial x}=ab^Tx+ba^Tx ∂x∂(aTxxTb)=abTx+baTx
LS信道估计
考虑一般信号接收模型
y
=
x
h
+
z
y=xh+z
y=xh+z
其中， y ∈ C N × 1 y\in \Bbb{C}^{N\times1} y∈CN×1为接收信号矢量， h ∈ C M × 1 h\in\mathbb{C}^{M\times1} h∈CM×1 为信道矢量， x ∈ C N × M x\in\mathbb{C}^{N\times M} x∈CN×M 为发送信号矩阵 （通常为导频矩阵）， z ∈ C N × 1 z\in\mathbb{C}^{N\times1} z∈CN×1 为噪声矢量，并且 z ∼ C N ( 0 , σ 2 I ) z\sim\mathcal{CN}(0,\sigma^2I) z∼CN(0,σ2I)。
最小二乘法 (Least squares) 估计信道
考虑接收信号 y y y和经过信道 h h h的信号 x x x之间的差距，使用误差的平方作为目标
J ( h ) = ∥ y − x h ∥ 2 = ( y − x h ) H ( y − x h ) = ( y H − h H x H ) ( y − x h ) = y H y − h H x H y − y H x h + h H x H x h J(h)=\|y-xh\|^2=(y-xh)^H(y-xh)\\=(y^H-h^Hx^H)(y-xh)\\=y^Hy-h^Hx^Hy-y^Hxh+h^Hx^Hxh J(h)=∥y−xh∥2=(y−xh)H(y−xh)=(yH−hHxH)(y−xh)=yHy−hHxHy−yHxh+hHxHxh
要使得 J ( h ) J(h) J(h)最小首先想到是对 J ( h ) J(h) J(h)求导，由上文的矩阵求导公式，我们可以得出
∂ ( J ( h ) ) ∂ h = − x H y − x H y + x H x h + x H x h \frac{\partial(J(h))}{\partial h}=-x^Hy-x^Hy+x^Hxh+x^Hxh ∂h∂(J(h))=−xHy−xHy+xHxh+xHxh
令 ∂ ( J ( h ) ) ∂ h = 0 \frac{\partial(J(h))}{\partial h}=0 ∂h∂(J(h))=0的时候差值最小，利用这个条件可以得到
∂ ( J ( h ) ) ∂ h = − 2 x H y + 2 x H x h = 0 \frac{\partial(J(h))}{\partial h}=-2x^Hy+2x^Hxh=0 ∂h∂(J(h))=−2xHy+2xHxh=0
可以得出 h ^ = ( x H x ) − 1 x H y = x − 1 y \hat{h}=(x^Hx)^{-1}x^Hy=x^{-1}y h^=(xHx)−1xHy=x−1y
利用LS估计信道是工程上常用的信道估计方式，但是估计出来的信道 h ^ \hat{h} h^ 和真实的信道之间是有误差的，注意我们使用LS估计信道的时候是忽略噪声的，所以LS估计出来的信道并不是最优的，特别是深衰落信道条件下，估计性能下降的很快。
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