92、成像中的统计方法

成像中的统计方法

1. 成像中的统计估计方法

1.1 最大后验估计（MAP）

在信号与噪声独立的情况下，对应的后验概率形式为：
[
\pi(x \mid y) \propto \exp \left(-\frac{1}{2}\left(|D(Ax - y)|^2 + |Rx|^2\right)\right)
]
其中 (R) 满足 (R^TR = \Gamma^{-1})，通常它是 (\Gamma^{-1}) 的 Cholesky 因子，或者 (R = \Gamma^{-1/2})。

后验密度的最大化者，即最大后验估计（MAP），是负指数的最小化者，也就是以下最小化问题的解：
[
x_{MAP} = \arg\min \left{|D(Ax - y)|^2 + |Rx|^2\right} = \arg\min \left{\left|\begin{bmatrix}DA \ R\end{bmatrix} x - \begin{bmatrix}Dy \ 0\end{bmatrix}\right|^2\right}
]
这等价于 Tikhonov 解，惩罚项 (J(x) = |Rx|^2)，正则化参数 (\alpha = 1)。需要注意的是，Tikhonov 正则化与 MAP 估计的直接对应关系仅适用于线性观测模型、高斯似然和先验。

1.2 条件均值估计（CM）

将成像问题用统计术语重新表述后，关注点从图像本身转移到了其概率密度。最大似然估计（ML）和 MAP 估计存在局限性，ML 估计由于成像问题中前向映射的典型病态性而不稳定，而 MAP 估计可能对应于概率密