83、光声和热声断层成像的数学原理

光声和热声断层成像的数学原理

在光声和热声断层成像（TAT）领域，目前已经开发出了众多用于从测量数据中重建图像的公式、算法和程序。这些技术大多需要在围绕待成像物体的封闭表面（二维中为封闭曲线）上收集数据。接下来，我们将详细介绍这些重建方法。

1. 全数据（封闭采集表面）

1.1 声速恒定的情况

当组织内的声速为已知常数时，TAT 问题可以根据初始条件 (f(x)) 的球均值来重新表述。这些球均值可以通过声学压力的测量值，利用特定公式轻松恢复。此时，图像重建就相当于对球均值变换 (M) 进行反演。具体来说，我们要从中心位于封闭表面 (S) 上的球面积分 (g(y, r)) 的已知值来重建在 (S) 所界定区域内有支撑的函数 (f(x))，其公式为：
[g(y, r) = \int_{\mathbb{S}^{n - 1}} f(y + r\omega)r^{n - 1}d\omega, \quad y \in S]
其中 (d\omega) 是单位球面上的标准测度。

下面介绍几种针对不同几何形状的重建方法：
- 球形几何的级数解 ：早期针对封闭采集表面的反演程序在相关文献中有描述，分别针对二维的圆形表面和三维的球形表面给出了解决方案。这些解决方案是通过对测量数据和待求函数 (f(x)) 进行谐波分解，然后使相应傅里叶级数的系数相等得到的。
- 二维算法 ：当探测器位于半径为 (R) 的圆上时，该方法基于 (f) 和 (g) 在角度变量上的傅里叶分解：
[f(x) = \sum_{-\infty}^{\infty} f_k(\rho)e^