53、采样方法：奇异源法与探测法解析

采样方法：奇异源法与探测法解析

1. 奇异源法

1.1 问题设定

在三维空间 $\mathbb{R}^3$ 中，考虑亥姆霍兹方程的简单逆散射问题，目的是根据远场模式 $u^{\infty}(\hat{x}; \hat{\theta})$（其中 $\hat{x}, \hat{\theta} \in S^2$）确定声学软障碍物 $D$ 的形状。这里，$u^s = u^s(x; \hat{\theta})$ 和 $u^{\infty}= u^{\infty}(\hat{x}; \hat{\theta})$ 分别表示对应于方向为 $\hat{\theta} \in S^2$ 的入射平面波的散射场和远场模式。

1.2 基本工具

奇异源法的基本工具是考虑对应于点源入射场 $v_i(x) = \Phi(x, z)$（其中 $z \notin D$ 是给定的点）的散射场 $v^s = v^s(x; z)$。当 $z$ 趋近于边界点时，在源点处计算的散射场 $v^s(z; z)$ 会趋于无穷大。可以证明，存在一个仅依赖于 $D$ 和 $k$ 的常数 $c > 0$，使得对于所有 $z \notin D$，有：
[
|v^s(z; z)| \geq \frac{c}{d(z, \partial D)}
]
其中，$d(z, \partial D) = \inf {|z - y| : y \in \partial D}$ 表示 $z$ 到 $D$ 的边界的距离。

1.3 方法思路

固定 $z \notin D$、$\varepsilon > 0$ 以及一个有界域 $G_z \su