29、EM算法：原理、应用与挑战

EM算法：原理、应用与挑战

1. EM算法基础与推导

1.1 EM算法推导公式

EM算法在许多统计估计问题中具有重要应用。首先，我们来看其推导公式：
[
x[k + 1] j = x[k]_j \cdot \frac{1}{n} \sum {p = 1}^{\ell} \frac{N_p k_{ip}}{\left(\sum_{q = 1}^{\ell} a_{iq} x[k] q\right)}, \quad j = 1, 2, \ldots, \ell
]
其中，对于 (p = 1, 2, \ldots, m) 和 (q = 1, 2, \ldots, \ell)，有
[
a {pq} = \int_{C_p} \left{\int_{B_q} k(w - y) d\mu(y)\right} d\mu(w)
]
对于 (f_Y) 的估计量为
[
f_k(y) = \sum_{j = 1}^{\ell} x[k]_j |C_j|^{-1} \mathbb{1}(y \in C_j), \quad y \in Y
]

1.2 有限混合未知分布的EM算法

考虑一个统计空间 ((Y, \mathcal{B} Y, \mathcal{P})) 中的随机变量 (Y)，其中 (\mathcal{P} = {f(\cdot|x) : x \in \mathcal{X}}) 是由低维参数 (x \in \mathcal{X}) 索引的概率测度族。假设 (Y) 的密度为
[
f_Y(y)