83、概率模型学习中的EM算法：原理、应用与挑战

概率模型学习中的EM算法：原理、应用与挑战

在概率模型学习领域，处理隐藏变量是一个常见且具有挑战性的问题。许多实际问题中存在无法直接观测到的隐藏变量，这使得模型学习变得复杂。而期望最大化（EM）算法为解决这类问题提供了一种通用且有效的方法。

1. 密度估计与隐藏变量问题

在进行概率模型学习时，密度估计是一个重要的环节。常见的密度估计方法有k近邻法和核方法。

• k近邻法 ：通过选择不同的k值来估计数据的密度。例如，在处理某组数据时，当k = 3时，估计结果过于尖锐；k = 40时，又过于平滑；而k = 10则较为合适。最佳的k值可以通过交叉验证来选择。
• 核方法 ：使用高斯核进行密度估计时，核宽度w的选择同样关键。如w = 0.02过小，w = 0.20过大，而w = 0.07比较合适。合适的w值也可通过交叉验证确定。

然而，在现实世界的许多问题中，存在隐藏变量（也称为潜在变量）。以医疗记录为例，通常包含观察到的症状、医生的诊断、治疗措施以及治疗结果，但很少直接记录疾病本身。隐藏变量虽然重要，但会使学习问题变得复杂。例如，在一个简单的心脏病诊断网络中，移除隐藏变量“心脏病”后，网络所需的参数数量从78个增加到708个。这表明隐藏变量可以显著减少指定贝叶斯网络所需的参数数量，进而减少学习参数所需的数据量。

2. EM算法在无监督聚类中的应用：学习高斯混合模型

无监督聚类旨在从一组对象中识别多个类别，由于没有给定类别标签，因此被称为无监督问题。例如，天文学家通过对恒星光谱的无监督聚类，识别出“红巨星”