8、卡尔曼滤波器：原理、推导与实现

卡尔曼滤波器：原理、推导与实现

1. 高斯分布与卡尔曼滤波器基础

在卡尔曼滤波器的应用中，高斯分布是一个重要的基础概念。高斯概率密度函数（PDF）和累积分布函数（CPDF）在很多情况下都有应用。例如，当均值 $\mu = 0.0$，标准差 $\sigma = 1.0$ 时，其高斯 PDF 可以通过以下代码计算：

x = linspace(-3,3); 
mu = 0; 
sigma = 1; 
pDF = GaussianPDF( x, mu, sigma ); 
cPDF = GaussianCPDF( x, mu, sigma ); 
t = sprintf('Gaussian PDF for mu = %8.1f and sigma = %8.1f',mu, sigma); 
Plot2D( x, pDF, 'Value', 'pdf', t ); 
Plot2D( x, cPDF, 'Value', 'pdf', t ); 

在构建卡尔曼滤波器时，通常假设测量噪声和模型噪声是高斯分布的。对于大多数传感器来说，这种假设是合理的，但对于模型噪声则不一定。模型噪声是外部输入、模型误差和未建模动态的组合。

2. 线性卡尔曼滤波器的状态估计问题

2.1 问题描述

我们的目标是估计一个通过弹簧和阻尼器连接到结构上的质量块的速度和位置。该系统如图所示，其中 $m$ 是质量，$k$ 是弹簧常数，$c$ 是阻尼常数，$f$ 是外部力，$x$ 是位置，且质量块只在一个方向上移动。