35、后门检测复杂度的权衡与基于约束的局部搜索可视化

后门检测复杂度的权衡与基于约束的局部搜索可视化

1. 后门检测复杂度相关内容

1.1 强 RHorn 后门与删除 RHorn 后门的大小关系

存在这样的公式，其最小强 RHorn 后门比任何删除 RHorn 后门都要小得多。这里通过构造一个公式族 ${F_n}$ 来证明。设 $s$ 是 2 的幂，$t = s + \log_2 s$，$n = s + \log_2 s + t = 2 \cdot (s + \log_2 s)$。$F_n$ 由三种变量构成：${x_i | 1 \leq i \leq t}$，${y_j | 1 \leq j \leq s}$，${z_k | 1 \leq k \leq \log_2 s}$。$z_k$ 变量用于编码所有长度为 $\log_2 s$ 的 $s$ 个 0 - 1 序列。

$F_n$ 恰好有 $st + 2$ 个子句：$C_x = (x_1 \vee x_2 \vee \cdots \vee x_t)$，$C_y = (\neg y_1 \vee \neg y_2 \vee \cdots \vee \neg y_s)$，以及对于每个 $i \in {1, \cdots, t}$，$j \in {1, \cdots, s}$，子句 $C_{i,j}^z = (\neg x_i \vee y_j \vee D_j^z)$。

可以证明 ${z_k | 1 \leq k \leq \log_2 s}$ 是 $F_n$ 的一个强 RHorn 后门，大小为 $\log_2 s = \Theta(\log n)$。而每个删除 RHorn 后门 $B$ 的大小至少为 $s + \log_2 s - 1 = \Theta(n)$。