28、序列约束编码方法解析

序列约束编码方法解析

在许多实际问题中，如汽车排序和员工排班问题，序列约束（SEQUENCE Constraint）的处理至关重要。本文将深入探讨多种序列约束的编码方法，包括基于自动机的编码、基于累积和的编码、基于差分约束的编码、基于部分和的编码以及基于对数的编码，并对它们进行理论比较。

1. 基于自动机的编码（LO）

1.1 原理

序列约束的编码利用了许多汽车排序和员工排班问题的两个特点：一是通常只对出现次数设置上限；二是上下限通常较小。为了编码序列约束，我们将其转换为一系列的 ATLEAST 和 ATMOST 约束。可以通过反转计数的值，将 ATLEAST 约束序列转换为 ATMOST 约束序列（反之亦然，取决于哪种表示复杂度更小）。例如，“任何 5 天中至少 3 天必须是工作日”等价于“5 天中最多 2 天是休息日”。最后，我们构造 ATMOST 或 ATLEAST 约束序列的自动机的乘积。

1.2 自动机构造

• ATMOSTSEQ 约束 ：假设要确保 k 个布尔变量 Yi 中最多 1 个取值为 1。考虑一个自动机，其状态记录 k 和到最后一个 1 的距离的最小值。如果 1 尚未出现，距离设为 k。状态转移函数为：当 Yi = 0 时，t(q, Yi) = min(k, q + 1)；当 q = k 且 Yi = 1 时，t(q, Yi) = 1。自动机的初始状态为 k，任何状态都是接受状态。
• ATLEASTSEQ 约束 ：假设要确保 k 个变量中至少 1 个取值为 1。自动机的状态记录到最后一个 1 的距离。如果