20、图算法中的带宽最小化与分支充电策略

图算法中的带宽最小化与分支充电策略

在图算法领域，有许多重要的问题和算法策略值得深入探讨。本文将聚焦于带宽最小化问题以及分支充电算法，详细介绍相关算法的原理、步骤和应用。

1. 带宽最小化问题

带宽最小化问题的目标是找到图 $G = (V, E)$ 的最优布局。具体而言，就是要找到一个双射 $f : V \to {1, \ldots, n}$，使得布局 $f$ 的宽度 $\max_{ {u, v} \in E} |f(u) - f(v)|$ 最小。可以将布局 $f$ 看作是把图 $G$ 的顶点嵌入到编号从 1 到 $n$ 的槽中。如果存在一种嵌入方式，使得图 $G$ 的每条边 ${u, v}$ 的拉伸 $|f(u) - f(v)|$ 都不超过 $B$，那么图的带宽就至多为 $B$。

为了解决带宽最小化问题，我们可以采用一种结合分支和动态规划技术的算法。该算法的时间复杂度为 $O^ (6^n)$，具体步骤如下：
- 假设条件 ：设图 $G$ 有 $n$ 个顶点，$B$ 是一个满足 $1 \leq B \leq n - 1$ 的整数。为了简化描述，假设 $n$ 能被 $B + 1$ 整除。若图 $G$ 不连通，其带宽等于各连通分量的最大带宽，因此我们可以假设 $G$ 是连通图。
- 槽的划分 ：将槽集合 ${1, 2, \ldots, n}$ 划分为多个段，即 ${1, \ldots, B + 1}, {B + 2, \ldots, 2B + 2}, \ldots, {n - B, \ldots, n}$。对于每个槽 $i \in {1, 2, \ldots, n}$