7、容斥原理及其算法应用

容斥原理及其算法应用

在算法设计领域，容斥原理是一种用于设计快速指数时间算法的迷人技术。它基于组合数学中的容斥原理，这是一种基本的计数原则，能以间接方式对组合对象进行计数，尤其在直接计数不可行时发挥重要作用。

容斥原理基础

• 简单示例引入 ：设集合 $S$，元素具有属性 $A$ 和 $B$。用 $N(0)$ 表示无属性元素个数，$N_A$ 和 $N_B$ 分别表示具有属性 $A$ 和 $B$ 的元素个数，$N_{A \cap B}$ 表示同时具有两种属性的元素个数。由于同时具有两种属性的元素在 $N_A + N_B$ 中被重复计算一次，所以 $N(0) = N - (N_A + N_B) + N_{A \cap B}$。
• 定理推广 ：给定 $N$ 个组合对象和属性 $P(1), P(2), \cdots, P(n)$，每个对象可能具有部分或全部属性。对于 $r \geq 1$ 和 ${i_1, i_2, \cdots, i_r} \subseteq {1, 2, \cdots, n}$，$N_{i_1, i_2, \cdots, i_r}$ 表示至少具有属性 $P(i_1), P(i_2), \cdots, P(i_r)$ 的对象个数。则无任何属性的对象个数 $N(0)$ 可由以下容斥公式确定：
  [
  N(0) = N - \sum_{i = 1}^{n} N_i + \sum_{i_1 < i_2} N_{i_1, i_2} - \sum_{i_1 < i_2 < i_3} N_{i_1, i_2, i_3} + \cdots + (-1)^j \su