14、多几何对象检测问题及其应用

多几何对象检测问题及其应用

在许多领域中，我们常常需要从数据集中识别和重建几何对象，例如在模式识别、计算机视觉、医学图像分析等领域。本文将深入探讨多几何对象检测问题，特别是多圆检测和多椭圆检测问题，并介绍相关的算法和应用。

1. 几何对象索引（GO）

对于数据集 $\rho = {\rho_1, \ldots, \rho_{\kappa}}$，其中 $\rho_j := \rho_j(\pi^{\star} j)$ 是簇 $\pi^{\star}_j$ 的局部密度，$\kappa \geq 2$，定义方差为：
[Var(\rho) = \frac{1}{\kappa - 1} \sum {j = 1}^{\kappa} (\rho_j - \overline{\rho})^2]
其中，$\overline{\rho} = \frac{1}{\kappa} \sum_{j = 1}^{\kappa} \rho_j$。

几何对象索引（GO）定义如下：
[GO(\kappa) :=
\begin{cases}
\sqrt{Var(\rho_1, \ldots, \rho_{\kappa})}, & \text{for } \kappa \geq 2 \
\rho_1, & \text{for } \kappa = 1
\end{cases}]
当 $\kappa = 1$ 时，只有一个 $\gamma$-簇中心 $\gamma^{\star}_1$，GO 索引的值等于 $\rho_1 = \frac{|A|}{|\gamma^{\star}_1|}$。GO 索引值越小，