一阶电路瞬态响应分析:状态变量与多种输入响应
1 状态与状态变量
1.1 状态的概念
从一个不同的角度来看待电容和电感,强调其记忆特性。若对电容施加任意电流波形,电容上的电荷 $q(t)$ 是电流的积分:
[q(t) = \int_{-\infty}^{t} i(t)dt]
看似需要知道从 $t = -\infty$ 开始的完整电流波形才能进行积分,但实际上,只需要某一时刻的电荷(或电压,因为 $q = Cv$)以及此后的电流波形即可。若 $t_1$ 时刻的电荷为 $q(t_1)$,则 $t_2 > t_1$ 时刻的电荷为:
[q(t_2) = \int_{-\infty}^{t_1} i(t)dt + \int_{t_1}^{t_2} i(t)dt = q(t_1) + \int_{t_1}^{t_2} i(t)dt]
所有 $t_1$ 之前的相关电路历史都总结在 $q(t_1)$ 这一个值中,具有这种特性的变量称为状态变量。对于线性时不变电容,电容电压也是状态变量;对于电感,基本状态变量是电感的总磁链 $\lambda$,若电感是线性时不变的,电流 $i = \frac{\lambda}{L}$ 同样可作为状态变量。
从这个角度看,RC 和 RL 电路的一阶微分方程都可以写成状态方程的形式:
[\frac{d}{dt}(\text{状态变量}) = f(\text{状态变量}, \text{输入变量})]
对于线性情况,$f$ 是线性函数,状态方程变为:
[\frac{d}{dt}(\text{状态变量}) = K_1(\text{状态变量当前值}) + K_2(\text{输入变量})]