15、单输入单输出离散时间模型

单输入单输出离散时间模型

1. 离散时间模型的基础

离散时间线性时不变（LTI）过程是现代控制系统中广泛应用的一类模型。离散时间模型描述了在离散时间点上，系统输入和输出之间的关系。在工业应用中，离散时间模型因其数值稳定性和易于实现的特点而备受青睐。本章将深入探讨单输入单输出（SISO）离散时间线性系统的模型表示和特性。

1.1 差分方程模型

离散时间LTI过程可以通过差分方程来描述。假设一个离散时间LTI过程由以下n阶差分方程表示：

[ y(t) + a_1 y(t-1) + \cdots + a_n y(t-n) = b_0 u(t) + b_1 u(t-1) + \cdots + b_{n-1} u(t-(n-1)) ]

其中 ( y(t) ) 和 ( u(t) ) 分别是时间 ( t ) 的输出和输入；( a_i ) 和 ( b_j ) 是常数系数。这个差分方程可以表示为：

[ A(q) y(t) = B(q) u(t) ]

其中 ( A(q) ) 和 ( B(q) ) 是延迟算子 ( q^{-1} ) 的多项式：

[ A(q) = 1 + a_1 q^{-1} + \cdots + a_n q^{-n} ]
[ B(q) = b_0 + b_1 q^{-1} + \cdots + b_{n-1} q^{-(n-1)} ]

1.2 连续时间模型到离散时间模型的转换

在实际应用中，许多系统最初是以连续时间模型表示的。为了在计算机控制系统中使用这些模型，必须将它们转换为离散时间模型。假设一个连续时间过程由以下微分方程表示：