37、高斯玻色采样：从理论到实践

高斯玻色采样：从理论到实践

1. 引言

在高斯玻色采样领域，矩阵的哈夫尼亚（Hafnian）是一个重要的概念。不过，计算哈夫尼亚在计算上具有挑战性，其计算复杂度随输入矩阵的维度呈指数增长。因此，我们将重点放在如何使用机器学习来获取玻色采样概率，而不依赖于哈夫尼亚的计算。

2. 公式推导

我们从公式 (12.38) 推导出公式 (12.39)，公式 (12.38) 可重写为：
[Pr(\bar{n}) = \frac{1}{\bar{n}!2^{\sum_{j = 0}^{n - 1} \bar{n} j}} \left(\prod {j = 0}^{n - 1} \tilde{\nabla} j^{2\bar{n}_j}\right) \frac{e^{\frac{1}{2} \sum {pq} A_{pq} k_p k_q}}{\sqrt{\det Q}} \big| {k = 0}]
其中，(A {pq} = \delta_{pq} - Q_{pq}^{-1})。

根据相关理论，(N \times 1) 列向量 (k) 和 (\alpha_{\nu}) 存在关系 (k = P^{\dagger} \Omega^{\dagger} \alpha_{\nu})。由此可得：
[\sum_{pq} A_{pq} k_p k_q = k^T \cdot A \cdot k = \alpha_{\nu}^{\dagger} \cdot \Omega P A P^{\dagger} \Omega^{\dagger} \cdot \alpha_{\nu}]