数据结构：线索二叉树

一、线索二叉树的概念

以二叉链表为存储结构时，只能找到结点的lchild和rchild，要想得到结点的“前驱和后继”，则必须遍历整个二叉链表。为了更方便的得到节点的“前驱和后继”，学者引入了 线索二叉树的概念，所谓线索二叉树，是指在遍历二叉树的时候，将节点的“前驱和后继”信息存储在其为空的 lchild和rchild 中。
线索二叉树的结点 结构如下：

lchild	LTag	data	rchild	RTag
LTag=1,lchild存放的是前驱信息；
LTag=0,lchild存放的是左孩子；
RTag=1,rchild存放的是后继信息；
RTag=0,rchild存放的是右孩子信息；

二、中序线索二叉树的构建

1、线索二叉树节点的存储结构

typedef struct BiThrNode{
TElemType data;
struct BiThrNode *lchild,*rchild;
int LTag,RTag;
}BiThrNode,*BiThrTree;

2、构建中序线索二叉树

//以p为根的子树中序线索化
void InThreading(BiThrTree p){
if(p){ //如果结点p不为空
InThreading(p->lchild); //对结点p的左孩子进行中序线索化
if(!p->lchild){ //如果P的lchild为Nulll，将其存放p的前驱信息
p->LTag = 1; //将左孩子存放p的前驱信息
p->lchild = pre;  
}
else{p->LTag=0;} //如果P的左孩子不为空，则将LTag=0
if(!pre->rchild){ //如果 前驱Pre的右孩子为NULL，存放pre的后继信息，即：p
pre->RTag = 1;
pre->rchild = p;
}
else{p->RTag = 0;} //由于pre只会 管pre->rchild=NULL的情况，所以要在这里提前为p->RTag=0，如果下一轮pre->rchild != NULL,则即便不赋值pre->RTag也没关系
pre = p; //将p作为pre，线索化其右孩子
InThreading(p->rchild); 
}

//带头结点的二叉树中序线索化
//头结点的lchild指向二叉树根节点；rchild指向中序遍历二叉树的最后一个结点；
void InOrderThreading(BiThrTree &Thrt,BiThrTree T){
Thrt = new BiThrNode; //创建头结点
Thrt->LTag = 0;
Thrt->RTag = 1;
Thrt->rchild = Thrt; //先让头结点的右孩子指向自己
if(!T){Thrt->lchild=Thrt;}
else{
Thrt->lchild = T; //头结点的左孩子指向线索二叉树的根节点；右孩子最终指向中序遍历的最后一个结点
pre = Thrt; //设Thrt为 中序遍历前 的前驱
InThreading(T); //中序线索化二叉树
pre->RTag = 1; //此时的pre为中序遍历的最后一个结点
pre->rchild = Thrt; //令pre指向头结点
Thrt->rchild = pre; //令头结点的右孩子指向 中序遍历最后一个结点
}
}

3、遍历中序线索二叉树

void InOrderTraverse_Thr(BiThrTree T){
//T为头结点：lchild为二叉树根；rchild为中序遍历最后一个元素
p=T->lchild;
while(p != T){ //中序遍历二叉树最后一个节点的rchild后继为头结点T
while(p->LTag == 0){p=p->lchild;} //如果p左结点为左孩子，则一直遍历，直到其左结点记录的是前驱信息，则说明，此结点为第一个中序遍历的结点，其前驱为 头结点
cout<<p->data; //输出第一个结点信息
while(p->RTag == 1 && p->rchild != T){p=p->rchild;cout<<p->data;} //如果结点右结点记录的是后继信息，则输出该后继信息，并接着遍历该结点的后继信息，即：rchild，直到节点的右结点为右孩子，停止循环
p=p->rchild; //以中序遍历右孩子子树
}
}

Note that：
中序遍历线索二叉树，结点p前驱后继很好找：
1、当p->LTag = 1，则p->lchild为p的前驱；
2、当p->LTag = 0，则p有左子树，其左子树中最右下的结点即为p的前驱；
3、当p->RTag = 1，则p->rchild为p的后继；
4、当p->RTag = 0，则p有右子树，其右子树中最左下的结点即为p的后继；

与中序遍历相比， 先序遍历和后序遍历 线索二叉树，结点p的前驱 和 后继 查找起来有点麻烦。
1、先序遍历线索二叉树

1. 如果p->LTag = 1，则p结点的前驱为p->lchild；
2. 如果p->LTag = 0，则p结点的前驱要分情况讨论：
   当p为根节点时，p的先驱为 空；
   当p为左结点时，p的先驱为 其双亲结点；
   当p为右结点时，p的先驱为 其兄弟左子树的最右下的结点（若存在） 或 其双亲结点；
3. 如果p->RTag = 1，则p的后继为p->rchild；
4. 如果p->RTag = 0，则p的后继为其左孩子p->lchild（若存在） 或 右子树根；

2、后序遍历线索二叉树

1. 如果p->LTag = 1，则p的前驱为p->lchild；
2. 如果p->LTag = 0，则p的前驱为：其右孩子p->rchild（若存在） 或 其左孩子；
3. 如果p->RTag = 1，则p的后继为p->rchild；
4. 如果p->RTag = 0，则p的后继分情况讨论：
   当p为根节点时，其后继为 空；
   当p为左结点时，其后继为兄弟右子树最左下的结点（若存在） 或 其双亲结点；
   当p为右结点时，其后继为其双亲结点；

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参考资料：《数据结构》 严蔚敏