重复控制算法深度解析：精准掌控周期性扰动的秘密武器

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重复控制

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在工业自动化、精密制造、电力电子变换以及伺服系统等领域，周期性扰动无处不在：电机旋转产生的不平衡力、电网电压的周期性谐波、磁盘驱动器的轨迹跟踪、机器人关节周期性运动等。

传统的PID控制器在面对这类扰动时往往力不从心，稳态误差难以消除。重复控制算法正是为解决这类周期性控制问题而生，它能实现零稳态误差跟踪/抑制特定基频及其所有整数倍谐波的卓越性能。

本文将深入剖析重复控制的核心原理、关键设计要素、稳定性考量、典型应用场景及前沿改进方向，助你全面掌握这一强大工具。

一、问题背景：周期性扰动的困扰

考虑一个典型的反馈控制系统，其输出需跟踪周期性参考信号 r(t)（如正弦波、方波）或抑制周期性扰动 d(t)（如机械振动、电网谐波）。设其基波周期为 T，基波角频率为 ω0 = 2π/T。

传统控制器的局限： PID 等线性控制器在特定频率点增益有限，难以完全消除所有谐波频率 (ω0, 2ω0, 3ω0, ...) 的跟踪误差或扰动影响，导致稳态误差残留。
重复控制的核心目标： 设计一个控制器 C_rep(z)，使得闭环系统对频率为 kω0 (k=1,2,3,...) 的所有周期性信号具有无穷大的开环增益，从而在稳态时实现对这些频率成分的零误差跟踪或抑制。

二、核心原理：内模原理与周期延拓

重复控制的理论基石是著名的内模原理 (Internal Model Principle, IMP)。IMP指出：要使闭环系统能无稳态误差地跟踪或抑制一类外部信号，控制器中必须包含能生成该信号动力学模型的内部结构。

对于周期为 T 的任意信号 s(t)，满足 s(t) = s(t - T)。在连续域，一个纯时延环节 e^{-sT} 的单位反馈闭环 1/(1 - e^{-sT}) 的极点在 s = jkω0 (k=0,±1,±2,...)，恰好能产生所有频率为 kω0 的振荡模式。因此，这个环节或其离散化形式，就是重复控制器需要包含的“内模”。

在离散域（更常用），重复控制器的核心是一个正反馈回路，其中包含一个周期延时环节 z^{-N}。这里 N = T / Ts (Ts 为采样时间)，即一个基波周期 T 内包含的采样点数。该结构被称为重复控制器内模 (Repetitive Internal Model)。

传递函数推导：

内模部分的输入为 e(z)，输出为 u(z)。由图可得：
u(z) = e(z) + z^{-N} * u(z)
整理得内模传递函数：
G(z) = u(z) / e(z) = 1 / (1 - z^{-N})

频率响应分析：

当 z^{-N} = 1，即 z = e^{jωTs} 满足 e^{jωNTs} = e^{jωT} = 1 时，G_{im}(e^{jωTs}) 分母为零 → 增益无穷大。
条件 e^{jωT} = 1 意味着 ωT = 2πk → ω = k * (2π/T) = kω0 (k=0,1,2,...)。
结论： 内模 1/(1 - z^{-N}) 在频率点 kω0 (k=0,1,2,...) 处具有无穷大增益，这正是实现零稳态误差的关键。

三、完整结构：核心内模与补偿器设计

仅靠内模 1/(1 - z^{-N}) 无法构成实用的控制器。将其直接置于前向通路会导致：

稳定性问题： 无穷大增益点使系统在 kω0 处开环增益无穷大，相位裕度无法定义，闭环极易不稳定。
零频 (k=0) 问题： k=0 即直流分量，无穷增益可能导致系统对直流扰动过于敏感或积分饱和。
非周期性信号响应差： 对非周期信号或瞬态响应缺乏有效控制。

因此，实用的重复控制器 C_rep(z) 采用以下结构：

$k_r$ ：重复控制增益。调节整体作用强度，通常远小于1），是稳定性和性能的关键权衡参数。
$z^{-d}$ ：相位超前环节。用于补偿被控对象 P(z) 和补偿器 C(z) 引入的相位滞后 (d 为超前步数)，确保在目标频率 (kω0) 附近满足稳定性条件。
Q(z)： 低通滤波器或常数 (|Q(e^{jω})| <= 1)。核心作用：
- 稳定性增强： 衰减高频增益，避免在 kω0 (k→∞) 处增益仍为无穷大。常用 Q(z) = α (0.95<α<1) 或一阶低通 Q(z) = (α)/(1 - (1-α)z^{-1})。
- 抑制零频 (DC) 增益： Q(1) < 1 使 DC 增益有限 (C_rep(1) = k_r z^{-d} Q(1) C(1) / (1 - Q(1)))，避免直流问题。
- 鲁棒性提升： 降低模型失配对稳定性的敏感度。
C(z)： 补偿器 (Compensator)。核心任务是相位补偿和增益整形：
- 相位补偿： 设计目标通常是使 C(z)P(z) 在目标频率带 (kω0 附近) 的总相位滞后尽可能小，理想情况接近0°（或-180°的整数倍，需结合内模相位分析）。常用方法：
  - 逆模型： C(z) ≈ P^{-1}(z)。若 P(z) 是最小相位且已知，效果最佳。
  - 超前校正： 如 C(z) = k_c (z - a)/(z - b), |a|>|b|。
  - 陷波/带通滤波器： 针对特定谐波进行增强补偿。
- 增益整形： 在目标频带提供足够增益，同时避免在其他频带（尤其高频）增益过大导致不稳定。常结合 Q(z) 设计。

四、稳定性分析：小增益定理与奈奎斯特判据

重复控制系统的稳定性分析比普通线性系统更复杂，因为其内模引入了无穷多个极点 (1 - Q(z)z^{-N} = 0 的解)。常用方法：

基于小增益定理的充分条件：
- 首先假设内模稳定 (即 |Q(e^{jω})| < 1 对所有 ω 成立，或 Q(z) 稳定且严格真)。
- 分析等效的“修正系统” $T_m(z) = [k_r z^{-d} Q(z) C(z) P(z)] / [1 + C_{base}(z)P(z)]$ ，其中 $C_{base}(z)$ 是保证系统基本稳定的基础控制器（如PID）。
- 小增益定理给出充分条件：如果 || Q(z) (1 - T_m(z)) ||_∞ < 1，则闭环系统稳定。这转化为要求 |Q(e^{jω})| * |1 - T_m(e^{jω})| < 1 对所有 ω 成立。
- 物理意义： T_m(z) 反映了在目标频率点内模被“激活”前，基础闭环的误差传递特性。|1 - T_m| 小意味着基础闭环在该点跟踪性能好，重复控制所需补偿量小，更容易稳定。Q(z) 进一步抑制高频段风险。
奈奎斯特判据结合连续分数法：
- 将 1 - Q(z)z^{-N} 视为一个在 z 平面单位圆上有 N 个极点的系统。
- 通过分析开环传递函数 L(z) = C_rep(z)P(z) 的奈奎斯特图，观察其是否包围 (-1, j0) 点。需要特别注意在频率 ω = kω0 附近，由于 Q(e^{jω})e^{-jωN} ≈ 1，L(e^{jω}) 的模很大，相位必须避开 -180°。
- 相位超前 z^{-d} 和 C(z) 的设计就是为了在 kω0 附近将 L(e^{jω}) 的相位拉离 -180°，避免奈奎斯特图在该点附近穿过 (-1, j0)。

关键设计准则总结：

相位裕度： 在主要关心的 kω0 频率点 (k=1,2,...,M)，确保开环 L(e^{jω_k}) 的相位满足 ∠L(e^{jω_k}) > -180°（或根据内模相位特性调整），并留有足够裕度 (> 30°-45°)。
增益裕度： 在相位接近 -180° 的频率点，增益应远小于1。
k_r 选择： 较小的 k_r 提高稳定性但降低收敛速度；较大的 k_r 加速收敛但增加失稳风险。需折中。
Q(z) 设计： Q(1) 越接近1，DC增益越高，低频性能越好，但对模型误差越敏感；Q(z) 的截止频率越低，高频稳定性越好，但抑制高频谐波的能力越弱。

五、性能指标：收敛速度与鲁棒性

收敛速度： 指系统在阶跃参考或扰动输入下，误差衰减到稳态值所需的时间（通常以周期数衡量）。主要由 k_r 和 Q(z) 决定：
- 误差动态可近似为 e_{k+1} ≈ Q(1)(1 - k_r G_{eff}) e_k，其中 G_{eff} 是等效增益。
- 要使误差指数衰减 (|e_{k+1}/e_k| < 1)，需 |Q(1)(1 - k_r G_{eff})| < 1。
- 结论： 增大 k_r 或增大 Q(1) (更接近1) 可以加快收敛速度，但以牺牲鲁棒性为代价。
鲁棒性： 指系统在存在被控对象模型不确定性 (ΔP(z)) 或参数变化时保持稳定的能力。Q(z) 和 k_r 是主要调节手段：
- Q(z) 的引入显著提高了鲁棒性，通过衰减高频增益降低了模型高频段误差的影响。
- 较小的 k_r 也直接增强了鲁棒性。
- 鲁棒稳定性可通过修改的小增益条件分析：|| ΔP(z) / P(z) ||_∞ < 1 / || S(z) T_m(z) ||_∞，其中 S(z) 是灵敏度函数。重复控制器降低了目标频带的 |S(e^{jω_k})|，但也可能在其他频带增大 |S| 或 |T_m|，影响鲁棒性。

六、改进方向：突破局限，适应多变场景

传统重复控制器存在固有局限：

周期敏感性： 性能严重依赖对周期 T 的精确已知。若 T 变化或存在抖动 (Jitter)，性能急剧下降。
长周期问题： N = T/Ts 很大时，z^{-N} 需要大量存储空间，且收敛慢 (k_r 小)。
非稳态性能： 在启动或参考/扰动突变时，可能因误差积累产生较大瞬时冲击。

改进方案：

自适应重复控制 (Adaptive RC)：
- 核心：在线估计或适应周期 T (N)。
- 方法：基于误差频谱分析、锁相环 (PLL)、LMS/RLS 自适应算法等调整 N 或滤波器参数。
- 应用：变频驱动的谐波抑制、转速波动的伺服控制。
分数阶重复控制 (Fractional Order RC)：
- 核心：利用分数阶时延 z^{-N-δ} (0<δ<1) 或分数阶内模。
- 优势：能在基频 ω0 的非整数倍频率 ((k + δ)ω0) 产生高增益，更适合抑制非同步谐波或处理周期不确定性问题。设计更复杂。
高阶重复控制 (High-Order RC)：
- 核心：内模使用 1/(1 - β z^{-N})^K (β<1, K>1) 或并联多个不同 N 的内模。
- 优势：可拓宽高增益频带，提高对周期微小变化的鲁棒性，或针对特定阶次谐波进行优化。结构更复杂。
基于 FIR/IIR 滤波器的内模近似：
- 核心：用有限阶的 FIR 或 IIR 滤波器 (如梳状滤波器 C(z) = (1 - α^K z^{-K}) / (1 - α z^{-1})) 近似 1/(1 - z^{-N})。
- 优势：显著减少内存需求 (N 大时)，易于实现。近似精度和稳定性需仔细设计。
与其它先进控制的融合：
- 鲁棒重复控制： 结合 H∞ 或 μ 综合，在保证鲁棒稳定性的前提下优化性能。
- 模糊/神经网络重复控制： 用智能方法在线优化 k_r、Q(z) 参数或 C(z)，适应非线性、时变系统。
- 学习控制 (ILC)： ILC 与 RC 有深刻联系（都基于内模）。RC 可视为在线的、周期内运行的 ILC；ILC 是离线的、逐周期更新的。两者可结合。