数论之大数取模和最大公约数

最新推荐文章于 2024-03-15 16:01:34 发布

离丶殇

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分类专栏：算法

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本文探讨了大数取模的计算方法，通过等式证明和递归实现展示了如何处理超过计算机最大整数的大数取模问题。此外，还介绍了欧几里得算法（辗转相除法）用于求解大数的最大公约数，并分析了算法的时间复杂度。

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一大数取模

这里大数是指超过了计算机所能存取的最大整数，因此采用字符串形式存取的数（如果不写高精度的话），所以不能简单用%运算符直接取余。

首先看几个等式：

(a + b)%n = (a%n + b%n)%n

(a - b)%n = (a%n - b%n)%n

(a * b)%n = ((a%n) * (b%n))%n

这些等式都可以很容易得到证明：

设a = nk1 + r,b = nk2 + t，对于第一个等式，左边为(n(k1 + k2) + r + t)%n = (r + t)%n，右边为(r + t)%n，显然相等

而且，右边式子去掉括号内任意的%n仍然成立，也即(a%n + b%n)%n = (a + b%n)%n = (a%n + b)%n = (a + b)%n，这样写程序就方便很多

假设xy为一个数字字符串，设x' = x - '0'，y' = y -'0'，则(10*x + y)%n = ((10*x)%n+y)%n = (10*(x%n) + y)%n，那么就可以很明显从左往右递归

例子代码如下：

string x = "123";
int n = 7;
int output = 0;
for(int j = 0; j < x.length(); j++) {
    output = (output * 10 + x[j] - '0')%n;
}

复杂度也很明显为O(n)

二最大公约数（gcd）

求两个数最大公约数最笨的办法是把两个数因式分解，然后把所有公共的因子找出来相乘，就可以得到最大公约数（虽然以前小学是这样做的），但在求某个很大数的因式分解是很困难的，所以需要其他方法。

欧几里得早在公元前300年就发明了一种算法，称为欧几里得算法，或者也叫辗转相除法

依赖于以下这个定理：

gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)

例子代码如下：

int gcd(int a,int b) {
    if(b == 0)
        return a;
    else return gcd(b,a%b);
}

复杂度的计算比较复杂，递归调用的次数为O(lg b)（b为a，b中较小的一个）

假设用p来表示a，b的位数，则执行的位操作次数为O(p * p)