375. Guess Number Higher or Lower II

一、题目大意

我们在玩一个猜数字的游戏，游戏规则如下：
我从1到n选择一个数字，你来猜我选择的数字。
每次你猜错，我都会告诉真实值是偏大还是偏小。
然而，当你猜了一个数字x，并且猜错的时候，你必须支付$x给我，当你猜到我选择的数字时，你就可以赢得比赛。
例如：
n=10，我选择了8
第一轮：你猜5，我告诉你真实值大于该值，你支付$5；
第二轮：你猜7，我告诉你真实值大于该值，你支付$7；
第三轮：你猜9，我告诉你真实值小于该值，你支付$9；
游戏结束，我选择的数字是8 。
你最终支付了$5+$7+$9=$21。
给定一个值$n\geq 1$，求为了保证赢得比赛，你必须有多少钱。

二、编程思路

2.1、2.2节为不成功的编程思路，关心答案的同学可以直接转到2.3即可。

2.1 初刻拍案惊奇

乍一看此题可以使用二分法求解。
n=1,{1},ans=0;
n=2,{1,2},ans=1;
n=3,{1,2,3},ans=2;
n=4,{1,2,3,4},ans=min{2+3,3+1}=4;
$\dots$
似乎没问题，令f(x,y)表示猜[x,y]范围内所需要花的钱，$med=\frac{x+y}{2}$，若med为整数，则先猜med；若med不是整数，则猜$med_f=floor(med)$与$med_c=ceil(med)$两种情况，取其中情况较小的。
总结其递推公式如下：

• $f(x,y)=0;$
• $f(x,y)=x,\ \ y=x+1;$
• $f(x,y)=med+f(x,med-1)+f(med+1,y),\ \ med_c==med_f$
• $f(x,y)=min\{med_c+f(x,med_c-1)+f(med_c+1,y),\\ med_f+f(x,med_f-1)+f(med_f+1,y)\},\ \ med_c!=med_f$

但是当n==5时，根据二分法求出来的是：n=5,{1,2,3,4,5},f(1,5)=3+4=7,而正确的结果应该是f(1,5)=2+4=6。
二分法宣告失败，这是因为二分法只能够找到猜的次数最少的，而不能够保证所猜的数字和最小。

2.2 二刻拍案惊奇

既然二分法不行，那就使用动态规划思路进行求解，继续找规律。
$n=1,\{1\},ans=0;$
$n=2,\{1,2\},ans=min\{1,2\}=1;$
$n=3,\{1,2,3\},ans=min\{1+2,2,3+1\};$枚举第一次分别猜1 2 3的情况。
$n=4,\{1,2,3,4\},ans=min\{1+\{2,3,4\},\ 2+\{3,4\}+\{1\}, \\3+\{1,2\}+\{4\},\ 4+\{1,2,3\}\}=4;$
$\dots$
$n,\{1,2,3,\dots,n\},ans=MIN_{i=1}^{i=n}\{i+max(\{1,2,3,\dots,i-1\},\ \{i+1,\dots,n\}\}$，即分别枚举猜1$\dots$n的情况，从而将问题分解为左右两个子序列的问题。即上式中的$\{1,2,3,\dots,i-1\}与\{i+1,\dots,n\}$，然后分别求其需要的钱数即可。

至此，思路还没有出现问题。
经过初步观察似乎可以发现，右边序列需要的钱数$\{i+1,\dots,n\}?=(似乎等于)i+\{1,\dots,n-i\}$于是总结出如下递推公式：

• 令dp[i]表示数字范围为1…i之间时，为了保证猜中数字所需要的最少钱数，则
• dp[0]=0;
• dp[1]=0;
• dp[2]=1;
• $dp[i]=MIN_{k=1}^{k=i}(k+max\{dp[k-1],dp[i-j]+((i-j)<2?0:j) \})$

2.3 三刻拍案惊奇

以上思路中，右边序列需要的钱数$\{i+1,\dots,n\}?=(似乎等于)i+\{1,\dots,n-i\}$属于根据直觉得出，与正确结果对比发现，当n$\geq$12时，会出现错误。其实只有当子序列中只猜一次时，以上关系才成立。
继续使用动态规划思路，令dp[i][j]猜中[i,j]范围之内数字时所需要最少钱数。则递推公式很容易获得，
$dp[i][j]=MIN_{k=i}^{k=j}\{k+max\{dp[i][k-1],dp[k+1][j]\}\}$

三、代码设计

class Solution {  
public:  
    int getMoneyAmount(int n) {  
        if(n ==0) return 0;  
        vector<vector<int> > dp(n+1, vector<int>(n+1, 0));
        //注意此处的迭代方向  
        for(int i = n-1; i > 0; i--)  
        {  
            for(int j = i+1; j <=n; j++)  
            {  
                int ans = 0xfffffff;  
                for(int k = i; k <j; k++)  
                    ans = min(ans, k + max(dp[i][k-1], dp[k+1][j]));  
                dp[i][j] = ans;  
            }  
        }  
        return dp[1][n];  
    }  
};

参考博客

LeetCode题解
[LeetCode]Guess Number Higher or Lower II