有向无环图（DAG）的最小路径覆盖

http://www.cnblogs.com/justPassBy/p/5369930.html

http://www.cnblogs.com/ka200812/archive/2011/07/31/2122641.html

定理：

柯尼希定理：二分图最小点覆盖的点数=最大匹配数。

最小路径覆盖的边数=顶点数n-最大匹配数

最大独立集=最小路径覆盖=顶点数n-最大匹配数

增广路定理：用未盖点表示不与任何匹配边邻接的点，其他点位匹配点，即恰好和一条匹配边临界的点。从未盖点出发，依次经过非匹配边，匹配边，非匹配边，匹配边。。。所得到的路径称为交替路。注意，如果交替路的终点时一个未盖点，则称这条交替路位一条增广路。在增广路中，非匹配边比匹配边多一条。增广路的作用是改进匹配。如果有一条增广路，那么把此路上的匹配边和非匹配边互换，得到的匹配比刚才多一边。反过来，如果找不到增广路，则当前匹配就是最大匹配。

查找增广路，存在增广路就交换增广路上的非匹配边和匹配边，这样会使得当前最大匹配数+1。

DAG的最小路径覆盖

 

定义：在一个有向图中，找出最少的路径，使得这些路径经过了所有的点。

最小路径覆盖分为最小不相交路径覆盖和最小可相交路径覆盖。

最小不相交路径覆盖：每一条路径经过的顶点各不相同。如图，其最小路径覆盖数为3。即1->3>4，2，5。

最小可相交路径覆盖：每一条路径经过的顶点可以相同。如果其最小路径覆盖数为2。即1->3->4，2->3>5。

特别的