什么是最小二乘

最新推荐文章于 2024-06-11 18:27:32 发布
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最小二乘法是数学优化技术
是通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配，利用最小二乘法就可以求得未知的数据，并使这些求得的数据和实际的数据之间的误差平方和最小，以平方和达到最小来寻求估计值的方法，就叫做最小二乘法，

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什么是最小二乘法？
学习与分享人工智能技术
09-21 3116
本文详细介绍了最小二乘法的概念及推导公式。
数学干货——最小二乘问题（线性空间求解以及矩阵求解）
Lucifer_zzq的博客
01-25 1万+
最小二乘是一个最简单的二次型凸优化问题，在不考虑约束问题时，方式式可写为： 其解为： x的求解方法可以有不同的理解，在这里详细讲述线性代数法和矩阵求导求解法。 一、线性代数法： 假设A=（m×n）大小的一个矩阵，我们将其理解为一个由n个m维的基向量长成的子空间。其解x=（n×1），为n个基向量的组合系数。也就是Ax为A长成的子空间上的一个向量。b=（m×1），是一个在空间上的任意向量。...
什么是最小二乘法
qq_45402214的博客
06-18 1104
最小平方法是十九世纪统计学的主题曲。 从许多方面来看, 它之于统计学就相当于十八世纪的微积分之于数学。 ----乔治·斯蒂格勒的《The History of Statistics》 1 日用而不知 来看一个生活中的例子。比如说，有五把尺子： 用它们来分别测量一线段的长度，得到的数值分别为（颜色指不同的尺子）： 之所以出现不同的值可能因为： 不同厂家的尺子的生产精度不同 尺子材质不同，热胀冷缩不一样 测量的时候心情起伏不定 … 总之就是有误差，这种情况下，一般取平均值来作为线段的长度： 日常中就是这么
线性最小二乘问题
...
06-11 964
线性最小二乘问题是数学和统计学中一个常见的优化问题，其目标是在一组线性方程没有精确解的情况下，找到一组解，使得模型预测值与实际观测值之间的误差平方和最小。Axb其中 (A) 是一个 m * n 的矩阵，(x) 是一个 n*1 的未知向量，而 (b) 是一个 m * 1 的已知向量。当 (m > n) 并且 (A) 不是满秩时（即 (rank(A) < m)），该系统通常没有精确解。线性最小二乘法寻找的是xmin​∣∣b−Ax∣∣2假设我们要通过一组观测数据点来拟合一条直线。
最小二乘（Least Squares）
LXYTSOS的专栏
03-26 6311
已经很久没有写博客了，今天决定写一篇关于最小二乘的博客，发表下自己的理解，有不足或错误之处，欢迎大家指正。最小二乘，又被叫做最小乘方or最小平方，它是一种优化技术。当给你一堆数据点，你可以想象成初中数学课堂上学习解析几何的时候，在坐标轴上给出一些点（通常这些点连起来是一条直线），然后要求算出这条直线的解析式（也就是拟合这些数据点），或计算斜率（可以理解成回归系数），然后要你算出当x等于多少时y的值之
matlab 高斯牛顿迭代求最小二乘问题
02-19
在MATLAB环境中，解决非线性最小二乘问题通常采用高斯-牛顿迭代方法。这是一种数值优化技术，专门用于找到使目标函数（通常是非线性的）平方和最小的参数值。非线性最小二乘问题广泛应用于各种科学和工程领域，如...
基于最小二乘支持向量机对偶优化问题的核偏最小二乘 (2006年)
05-10
提出了一种基于对偶优化的核最小二乘(KPLS)方法，把KPLS用最小二乘支持向量机的形式表示，推导了KPLS对偶优化形式的公式，且使其具有最小二乘支持向量机的风格，在初始空间中构造优化问题，应用核技术在特征空间中解...
Lsm_match.zip_LSM 匹配_lsm match_影像匹配_最小二乘_最小二乘匹配
07-14
最小二乘图像影像匹配方法，一个很详细的源码例程，有过程有结果，希望对初学者有帮助。高斯解方程，以及最小二乘匹配，里面都很详细。
zuixiaoercheng.rar_matlab 最小二乘_最小二乘_最小二乘法_最小二乘算法_递推最小二乘
09-14
在给定的"zuixiaoercheng.rar"压缩包中，包含了一个名为"小论文最小二乘算法.m"的MATLAB脚本文件，这显然是一个关于实现最小二乘算法的程序。在这里，我们将深入探讨最小二乘法的基本概念、递推最小二乘算法以及...
suanfa.rar_参数估计_最小二乘_最小二乘 递推_最小二乘估计_递推最小二乘
09-24
在这个话题中，"suanfa.rar_参数估计_最小二乘_最小二乘递推_最小二乘估计_递推最小二乘"的标题暗示了我们正在探讨的是基于最小二乘原则的参数估计方法，特别是递推版本的算法。 最小二乘法是一种广泛使用的优化...
机器学习数学基础基本例题【四】：最小二乘问题
2301_76836985的博客
11-08 1909
指的是，给定一个矩阵A和向量b，寻找一个向量x，使得Ax≈b的误差最小。最小二乘问题可以表示为：其中||.||表示向量的2-范数。指的是，满足上述最小二乘问题的向量x。指的是，在满足Ax=b的条件下，使得向量x的2-范数最小的解。指的是，在满足Ax=b的条件下，使得向量x的2-范数最小，并且满足Ax≈b的误差最小的解。对于超定方程组Ax=b（A的行数大于列数），由于方程组无解，我们可以通过。
解释下什么是最小二乘法
Alien_lily的博客
11-28 4834
主要参考维基百科 最小二乘法，也叫作最小平方法（这样比较好理解）是一种数学优化技术。主要是通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。 利用最小二乘法可以简便的求得未知的数据，并且使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。 最小二乘法是对过度确定系统，即其中存在比未知数据更多的方程组，以回归分析求得近似解的标准方法。在这整个解决方案中，最小二乘法演算为每一方程式的结果中，将残差平方和的...
最小二乘法
weixin_43694742的博客
05-12 1200
前言 参考博客：半小时学习最小二乘法 最小二乘法在统计学的地位不必多言。本文的目的是全面地讲解最小二乘法，打好机器学习的基础。本文主要内容是最小二乘法的思想及在线性回归问题中的应用。后面的系列文章会继续讲解最小二乘的正则化。 至于非线性最小二乘和广义线性模型，如果以后有时间会进行整理。 核心思想 最小二乘法是勒让德( A. M. Legendre)于1805年在其著作《计算慧星轨道的新方法》中提出的。它的主要思想就是求解未知参数，使得理论值与观测值之差（即误差，或者说残差）的平方和达到最小： E=∑i=
机器学习（四）——最小二乘（Least squares）
qq_31589695的博客
04-24 2915
原文：http://cs229.stanford.edu/notes/cs229-notes1.pdf 借助矩阵导数的工具，现在让我们继续以封闭的形式找到的值，使得最小化。我们从用矩阵向量表示法重写开始。 给定一个训练集，设计矩阵为矩阵，(实际上是，如果我们包括拦截项)，其中每一行为训练样本的输入值： 另外，让是包含训练集中所有目标值的m维向量： 现在，由于，我们可以很容易的证明：...
机器学习之最小二乘法
陌若安生的博客
07-16 3973
一、最小二乘法理解： 1.定义 先从最小二乘的名字来看，所谓最小二乘，其实也可以叫做最小平方和。那么，是什么的平方和最小呢?那肯定是误差最小，那是什么的误差呢?就是目标对象和拟合对象的误差。连起来看，就是通过最小化误差的平方和，使得拟合对象无限接近目标对象，这就是最小二乘的核心思想。可以看出，最小二乘解决的是一类问题，就是需要拟合现有对象的问题。这么看来，是不是也就可以理解为什么最小二乘应用如此广...
最小二乘法 来龙去脉
bitcarmanlee的博客
06-05 7万+
最小二乘是每个上过大学的同学都接触过的概念与知识点(当然可能纯文科的同学没接触过，但是一般纯文科的同学也不会看这篇文章好像)。最小二乘理论其实很简单，用途也很广泛。但是每次说到最小二乘，总感觉差了点什么似的，好像对于最小二乘的前世今生没有一个特别详细与系统的了解。so，本博主趁着周末的时间，赶紧给详细整理整理，力争把最小二乘是个什么鬼做一个特别详细的说明，争取让学英语学中文学历史学画画唱歌的同学都
如何理解最小二乘法？
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马同学
07-20 25万+
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最小二乘问题总结
Mr.Andy的博客
07-28 1万+
最小二乘问题总结1.题外话2.最小二乘基础概念3.最小二乘问题的求解方法 1.题外话 最近在学习深蓝学院的VIO课程，最小二乘问题的求解作为基础知识，在VIO的优化过程中非常重要。因此在这里对课程内容和查阅的资料做个总结，以便能够加深对最小二乘问题的理解。 2.最小二乘基础概念 最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术。它的主要思想就是求解未知参数，使得理论值与观测值之差（即误差，或者说残差...
什么是最小二乘拟合
最新发布
08-01
<think>首先，用户的问题是：“我想了解最小二乘拟合的概念和原理 请问最小二乘拟合的定义与实现原理”。这是一个关于最小二乘拟合的查询，我需要基于提供的引用内容来回答。 系统级指令要求： - 所有行内数学表达式使用$...$格式。 - 独立公式使用$$...$$格式并单独成段。 - LaTeX语法正确。 - 使用中文回答。 - 生成相关问题。 - 回答中引用的段落末尾自然地添加引用标识，例如[^1]。 用户可见层要求： - 回答结构清晰，帮助用户逐步解决问题。 - 尽量保证回答真实可靠。 - 参考站内引用：引用[1]和引用[2]。 引用内容： - 引用[1]：最小二乘曲线拟合及其matlab实现，介绍了曲线拟合的基本理论、最小二乘原理、多项式曲线拟合模型建立、MATLAB实现等。 - 引用[2]：预测模型，线性最小二乘拟合与非线性最小二乘拟合，给出了MATLAB代码示例。 我的回答需要覆盖最小二乘拟合的定义和实现原理。结构应该是清晰的步骤： 1. 定义最小二乘拟合。 2. 解释原理。 3. 可能包括实现步骤或示例。 4. 生成相关问题。 步骤： - **定义**：最小二乘拟合是一种数学优化技术，用于找到一条曲线或函数，使得该曲线与一组数据点之间的平方误差之和最小。 - **原理**：基于最小二乘原理，即最小化残差平方和。残差是数据点与拟合曲线之间的垂直距离。 - **数学公式**： - 对于线性拟合：假设数据点$(x_i, y_i)$，拟合直线$y = ax + b$，目标是使$\sum_{i=1}^{n} (y_i - (a x_i + b))^2$最小。 - 一般形式：对于多项式拟合，使用正规方程或矩阵方法。 - **实现原理**：在MATLAB中，可以使用`polyfit`函数进行多项式拟合，如引用[2]所示。 - **引用**：在适当的地方添加引用标识。 回答结构： 1. **引言**：简要介绍最小二乘拟合。 2. **定义**：给出定义。 3. **原理**：详细解释原理，包括数学公式。 4. **实现**：讨论实现方法，特别是MATLAB中的实现。 5. **总结**：简要总结。 6. **相关问题**：生成相关问题。 数学公式： - 行内：例如，残差$e_i = y_i - f(x_i)$。 - 独立公式：例如，目标函数$\min \sum_{i=1}^{n} e_i^2$。 生成相关问题：基于主题，如： 1. 最小二乘拟合的应用场景？ 2. 如何处理非线性最小二乘拟合？ 3. MATLAB中其他拟合函数的使用？ 确保语言是中文。</think>### 最小二乘拟合的定义与实现原理 最小二乘拟合是一种常用的数学优化方法，用于从一组离散数据点中找到一个函数（如多项式、线性函数或非线性模型），使得该函数与数据点之间的“残差平方和”最小化。残差是指数据点$y_i$与拟合函数预测值$f(x_i)$之间的垂直距离（即$e_i = y_i - f(x_i)$）。核心思想是：通过最小化所有残差的平方和，来获得最佳拟合曲线，从而减少噪声影响并揭示数据的内在趋势[^1]。以下我将逐步解释其定义、原理及实现方法。 #### 1. **最小二乘拟合的定义** 最小二乘拟合的定义基于最小二乘原理：给定一组数据点$(x_i, y_i)$（$i=1,2,\dots,n$），拟合一个函数$f(x)$（例如多项式函数），使得残差平方和（Sum of Squared Errors, SSE）达到最小： $$ \min \sum_{i=1}^{n} (y_i - f(x_i))^2 $$ 其中，$f(x)$可以是线性函数（如$f(x) = ax + b$）或非线性函数（如$f(x) = a \sin(bx)$）。最小二乘拟合广泛应用于数据分析、预测模型和曲线拟合中，因为它能有效处理随机误差并提供统计最优解[^1]。 #### 2. **最小二乘拟合的原理** 最小二乘原理的核心是求解目标函数的极小值点，通过数学推导得到拟合参数。以下以**多项式拟合**为例说明原理： - **问题设定**：假设拟合一个$m$次多项式$f(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \dots + a_m x^m$。目标是求解系数$a_0, a_1, \dots, a_m$，使SSE最小： $$ \min \sum_{i=1}^{n} \left( y_i - \sum_{k=0}^{m} a_k x_i^k \right)^2 $$ - **求解方法**：使用**正规方程（Normal Equations）**。将问题转化为线性方程组： - 定义设计矩阵$X$（$n \times (m+1)$），其中第$i$行为$[1, x_i, x_i^2, \dots, x_i^m]$。 - 定义参数向量$\mathbf{a} = [a_0, a_1, \dots, a_m]^T$和观测向量$\mathbf{y} = [y_1, y_2, \dots, y_n]^T$。 - 则SSE可写为$\| \mathbf{y} - X\mathbf{a} \|^2$。最小化该式等价于求解： $$ X^T X \mathbf{a} = X^T \mathbf{y} $$ 这个方程称为正规方程，其解$\mathbf{a} = (X^T X)^{-1} X^T \mathbf{y}$给出最优拟合参数[^1]。 - **几何解释**：在向量空间中，拟合函数$f(x)$是观测向量$\mathbf{y}$在由$X$列张成的子空间上的投影，最小化残差相当于找到垂直投影点。 - **非线性最小二乘**：对于非线性函数（如指数拟合$f(x) = a e^{bx}$），原理类似但需迭代方法（如Levenberg-Marquardt算法）求解，目标仍是最小化SSE[^2]。 #### 3. **实现原理及MATLAB示例** 最小二乘拟合的实现依赖于数值计算工具。MATLAB提供了高效函数，如`polyfit`用于多项式拟合： - **实现步骤**： 1. **数据准备**：收集数据点$(x_i, y_i)$。 2. **选择模型**：确定多项式阶数$m$（例如线性拟合$m=1$，二次拟合$m=2$）。 3. **求解正规方程**：使用矩阵运算计算系数。 4. **评估拟合**：计算残差平方和或确定系数$R^2$以评估精度。 - **MATLAB代码示例**（基于引用[2]）： 以下代码演示二次多项式拟合（$m=2$）： ```matlab % 定义数据点 x = 0:0.1:1; % x值 y = [-0.447, 1.978, 3.28, 6.16, 7.08, 7.34, 7.66, 9.56, 9.48, 9.30, 11.2]; % y值 % 使用polyfit进行最小二乘拟合（阶数2） A = polyfit(x, y, 2); % A返回系数[a2, a1, a0]，对应f(x) = a2*x^2 + a1*x + a0 % 计算拟合值并绘图 z = polyval(A, x); % 基于系数计算拟合y值 plot(x, y, 'k+', x, z, 'r'); % 绘制原始数据点（黑色+）和拟合曲线（红色） legend('原始数据', '拟合曲线'); title('最小二乘二次拟合示例'); ``` 结果：`A`给出最优系数，拟合曲线最小化SSE。MATLAB的`polyfit`内部使用QR分解求解正规方程，确保数值稳定性[^1][^2]。 - **精度评估**：拟合后，可计算残差平方和$\sum (y_i - z_i)^2$或$R^2$（接近1表示拟合优）。引用[1]证明该方法在实测数据中有效，精度取决于模型选择和噪声水平。 #### 总结 最小二乘拟合通过最小化残差平方和，提供了一种鲁棒的曲线拟合方法，适用于线性和非线性模型。其原理基于优化理论，实现上依赖于正规方程或迭代算法。MATLAB工具（如`polyfit`）简化了计算，使拟合过程高效可靠[^1][^2]。如果您有具体数据集或模型需求，我可以进一步解释定制实现。
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