SU(3)表示

最新推荐文章于 2024-10-07 15:08:54 发布

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本文探讨了SU(3)群及其李代数su(3)的表示理论，介绍了如何通过最高权分类有限维不可约表示，并详细展示了sl(3;C)的基底与李括号运算，最后引入了权与根的概念。

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$\quad\quad$ 由于 $SU(3)$ 群在物理上有重要意义，不仅如此，由于一般的半单理论比较复杂，所以可以从 $SU(3)$ 更加简单清楚了解李表示结构。因为有限维 $SU(3)$ 是单连通的，这样 $SU(3)$ 与李代数 $su(3)$ 是一一对应的关系。我们可以用它的“最高权”分类有限维不可约表示 $SU(3)$ ，分类得到 $SU(3)$ 的分解。复化李代数 $su(3)_\mathbb{C}\cong sl(3;\mathbb{C})$ (或者 $su(3)_\mathbb{C}$ = $sl(3;\mathbb{C})$ )。

1. 表示基底

$\quad\quad$ 假设 $SU(3)$ 的有限维复表示为 $\Pi$ ， $sl(3;\mathbb{C})$ 有限维复表示为 $\pi$ 。则存在一个1-1的对应关系满足：

Π (g) = Π (e X) = e π (x) \forall X \in s u (3)

$\Pi(g)=\Pi(e^X)=e^{\pi(x)}\quad\quad \forall X \in su(3)$
即同态映射:

SU(3)⟶sl(3;C)SU(3)⟶sl(3;C) $SU(3)\longrightarrow sl(3;\mathbb{C})$ 与表示群同态映射满足图交换。
每个有限维

sl(3;C)sl(3;C) $sl(3;\mathbb{C})$ 的表示可以分解为不可约表示不变子空间的直和。
取

sl(3;C)sl(3;C) $sl(3;\mathbb{C})$ 的基底：

H 1 = ⎡ ⎣ ⎢ 100 0 - 1 0 000 ⎤ ⎦ ⎥; H 2 = ⎡ ⎣ ⎢ 000010 00 - 1 ⎤ ⎦ ⎥;

$H_1=\begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&-1&0\\ 0&0&0\\ \end{bmatrix}; H_2=\begin{bmatrix} 0&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&-1\\ \end{bmatrix};$

X 1 = ⎡ ⎣ ⎢ 000100000 ⎤ ⎦ ⎥ X 2 = ⎡ ⎣ ⎢ 000000010 ⎤ ⎦ ⎥ X 3 = ⎡ ⎣ ⎢ 000000100 ⎤ ⎦ ⎥

$X_1=\begin{bmatrix} 0&1&0\\ 0&0&0\\ 0&0&0\\ \end{bmatrix} X_2=\begin{bmatrix} 0&0&0\\ 0&0&1\\ 0&0&0\\ \end{bmatrix} X_3=\begin{bmatrix} 0&0&1\\ 0&0&0\\ 0&0&0\\ \end{bmatrix}$

Y 1 = ⎡ ⎣ ⎢ 010000000 ⎤ ⎦ ⎥ Y 2 = ⎡ ⎣ ⎢ 000001000 ⎤ ⎦ ⎥ Y 3 = ⎡ ⎣ ⎢ 001000000 ⎤ ⎦ ⎥

$Y_1=\begin{bmatrix} 0&0&0\\ 1&0&0\\ 0&0&0\\ \end{bmatrix} Y_2=\begin{bmatrix} 0&0&0\\ 0&0&0\\ 0&1&0\\ \end{bmatrix} Y_3=\begin{bmatrix} 0&0&0\\ 0&0&0\\ 1&0&0\\ \end{bmatrix}$
下面我们来计算对应的lie括号

[H 1, X 1] = 2 X 1; [H 1, Y 1] = - 2 Y 1; [X 1, Y 1] = H 1 [H 2, X 2] = 2 X 2; [H 2, Y 2] = - 2 Y 2; [X 2, Y 2] = H 2

$[H_1,X_1]=2X_1;\quad[H_1,Y_1]=-2Y_1;\quad[X_1,Y_1]=H_1\\ [H_2,X_2]=2X_2;\quad[H_2,Y_2]=-2Y_2;\quad[X_2,Y_2]=H_2\\$
从上述表达式可以看出

H1,X1,Y1H1,X1,Y1 $H_1,X_1,Y_1$ 构成

sl(2;C)sl(2;C) $sl(2;\mathbb{C})$ 的基底。而

H2,X2,Y2H2,X2,Y2 $H_2,X_2,Y_2$ 构成它的另一个基底。接着整理下面的关系式：

李括号	$H_1$	$H_2$	$X_1$	$X_2$	$X_3$	$Y_1$	$Y_2$	$Y_3$
$H_1$	$0$	$0$	$2X_1$	$-X_2$	$X_3$	$-2Y_1$	$Y_2$	$-Y_3$
$H_2$	$0$	$0$	$-X_1$	$2X_2$	$X_3$	$Y_1$	$-2Y_2$	$-Y_3$
$X_1$	$-2X_1$	$X_1$	$0$	$X_3$	$0$	$H_1$	$0$	$-Y_2$
$X_2$	$X_2$	$-2X_2$	$-X_3$	$0$	$0$	$0$	$H_2$	$Y_1$
$X_3$	$-X_3$	$-X_3$	$0$	$0$	$0$	$-X_2$	$X_1$	$H_1+H_2$
$Y_1$	$2Y_1$	$-Y_1$	$-H_1$	$0$	$X_2$	$0$	$-Y_3$	$0$
$Y_2$	$-Y_2$	$2Y_2$	$0$	$-H_2$	$-X_1$	$Y_3$	$0$	$0$
$Y_3$	$Y_3$	$Y_3$	$Y_2$	$-Y_1$	$-H_1-H_2$	$0$	$0$	$0$

有了这个表格关系式，我们将在上述基上分析所有的 $sl(3;\mathbb{C})$ 的表示（有限维复线形）。

2.权与根
权与根是表示的分类方法，基本策略是对 $\pi(H_1)$ 和 $\pi(H_2)$ 同时对角化。从上述表格可知 $\pi(H_1)$ 和 $\pi(H_2)$ 是交换的，由于交换性条件满足 $\pi(H_1)$ 和 $\pi(H_2)$ 同时对角化。
先定义一些基本概念，然后继续向下分析
定义：假设 $(\pi,V)$ 是 $sl(3;\mathbb{C})$ 的表示，一个序对 $\mu=(m_1,m_2)\in \mathbb{C}^2$ 称作权，如果存在 $v\neq0$ , $v\in V$ ，且有下面关系成立：