算法复习——背包DP问题

最新推荐文章于 2024-10-18 08:00:00 发布

JimCell

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分类专栏：各种DP 算法复习各种算法题汇总

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本文通过洛谷1273题解析树型背包问题，介绍了如何利用动态规划求解最大值，通过定义状态转移方程f[x][j]=max(f[x][j],f[x][j-k]+f[edge[i].e][k]-edge[i].cost)，并给出了完整的C++代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

额，看到这题目的童鞋不要马上骂博主SB，我要说的其实不是0/1背包问题，而是树型背包。不过其实可以参考一下0/1背包来看这个文章，因为其实很像的。

好吧，讲DP最好的方式还是结合题目一起讲——洛谷1273

~~点击有屠龙宝刀~~题目看这里：http://dev.luogu.org:3308/problem/show?pid=1273

首先我们很自然地想到开一个f数组

f[i][j]代表了在i节点为根的子树中选择j个叶子节点的最大值

然后问题就变得很简单了：

f[x][j]=max(f[x][j],f[x][j-k]+f[edge[i].e][k]-edge[i].cost)

其实这就是树型背包的典型公式，也就是说，和0/1背包DP一样：

f[i][j]=max(f[i,j],f[i-1,j-v[i]]+w[i])

都是增加了一个可选物品的同时，在空间允许的情况下把物品加进来，在上面的问题中，物品就是用户，占空间为1，价值为income-cost。

好吧，上代码：

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#include <math.h>
using namespace std;

struct data{
    int next,e,cost;
}edge[3030];
int n,m,i,j,k,u,v,w,income[3030],head[3030],cnt,f[3030][3030];

void adde(int u,int v,int w)
{
    cnt++;
    edge[cnt].e=v;
    edge[cnt].cost=w;
    edge[cnt].next=head[u];
    head[u]=cnt;
}
int calc(int x)
{
    if (x>n-m)
    {
        f[x][1]=income[x];
        return 1;
    }
    int son=0;
    for (int i=head[x];i!=-1;i=edge[i].next)
    {
        int part=calc(edge[i].e);
        son+=part;
        for (int j=son;j;j--)
          for (int k=1;k<=part;k++)
          f[x][j]=max(f[x][j],f[x][j-k]+f[edge[i].e][k]-edge[i].cost);
    }
    return son;
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for (i=1;i<=n;i++) head[i]=-1;
    for (i=1;i<=n-m;i++)
    {
        scanf("%d",&k);
        for (j=1;j<=k;j++)
        {
            int a,c;
            scanf("%d%d",&a,&c);
            adde(i,a,c);
        }
    }
    for (i=n-m+1;i<=n;i++) scanf("%d",&income[i]);
    memset(f,-60,sizeof(f));
    for (i=1;i<=n;i++)f[i][0]=0;
    calc(1);
    for (i=m;i;i--) if (f[1][i]>=0) break;
    printf("%d",i);
    return 0;
}