动态规划-硬币排成线

该题是lintcode的第394题， https://www.lintcode.com/problem/394/，解题思路参考九章侯老师给的建议。

1 描述

有 n 个硬币排成一条线。两个参赛者轮流从右边依次拿走 1 或 2 个硬币，直到没有硬币为止。拿到最后一枚硬币的人获胜。

请判定 先手玩家 必胜还是必败?

若必胜, 返回 true, 否则返回 false.

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2 样例

2.1 样例 1:

输入: 1
输出: true

2.2 样例 2:

输入: 4
输出: true
解释:
先手玩家第一轮拿走一个硬币, 此时还剩三个.
这时无论后手玩家拿一个还是两个, 下一次先手玩家都可以把剩下的硬币拿完.

2.3 样例 3:

输入: 5
输出: true
解释:
先手玩家第一轮拿走两枚硬币, 此时还剩三个.
这时无论后手玩家拿一个还是两个, 下一次先手玩家都可以把剩下的硬币拿完.

3 算法解题思路及实现

3.1 算法解题分析

3.1.1 确定状态

这是一个博弈型动态规划类算法题，这中类型的算法解题分析不是从最后一步分析，而是从第一步分析，原因是随着硬币的减少，问题越来越简单。
假设两名选手分别为A和B，A为硬币为N时的先手，而当A拿走一或则两枚硬币之后，B则成为剩余硬币的先手，因此A要保证在自己拿走1或者2枚硬币的时候至少有一种情况是可以赢的。
子问题就转换为：
面对N枚硬币，A作为先手是不是必胜，
则需要知道面对N - 1和N - 2枚硬币B作为先手是不是必胜，
状态：设f[i]表示面对i个石子，是否先手必胜f[i] = True/False

3.1.2 转移方程

状态：设f[i]表示面对i个石子，是否先手必胜f[i] = True/False

f[i] = (f[i-1] == FALSE OR f[i-2] == FALSE)

3.1.3 初始条件和边界情况

• 设f[i]表示面对i个石子，是否先手必胜f[i] = True/False
• f[i] = (f[i-1] == FALSE OR f[i-2] == FALSE)
• f[0] = FALSE 面对0枚硬币，先手必败
• f[1] = f[2] = True， 面对1枚或2枚硬币，先手必胜

3.1.4 计算顺序

• f[0], f[1], f[2], …, f[N]
• 如果f[N] = true，则先手必胜，否则先手必败
• 时间负责度为O(N)
• 空间复杂度为：O(N)

3.2 算法实现

3.2.1 动态规划常规实现

public class Solution {
    /**
     * @param n: An integer
     * @return: A boolean which equals to true if the first player will win
     */
    public boolean firstWillWin(int n) {
        // write your code here
        if (n <= 0) {
            return false;
        }

        if (n <= 2) {
            return true;
        }

        boolean [] f = new boolean[n + 1];
        f[0] = false;
        f[1] = true;

        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            f[i] = (!f[i - 1] || !f[i - 2]);
        }

        return f[n];
    }
}

3.2.2 动态规划滚动数组

public class Solution {
    /**
     * @param n: An integer
     * @return: A boolean which equals to true if the first player will win
     */
    public boolean firstWillWin(int n) {
        // write your code here
        if (n <= 0) {
            return false;
        }

        if (n <= 2) {
            return true;
        }

        boolean [] f = new boolean[2];
        f[0] = false;
        f[1] = true;

        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            f[i % 2] = !(f[(i -1) % 2] && f[(i - 2) % 2]);
        }

        return f[n % 2];
    }
}