Maximal Rectangle -- LeetCode

原题链接:  http://oj.leetcode.com/problems/maximal-rectangle/  
这是一道非常综合的题目，要求在0-1矩阵中找出面积最大的全1矩阵。刚看到这道题会比较无从下手，brute force就是对于每个矩阵都看一下，总共有m(m+1)/2*n(n+1)/2个子矩阵（原理跟字符串子串类似，字符串的子串数有n(n+1)/2，只是这里是二维情形，所以是两个相乘），复杂度相当高，肯定不是面试官想要的答案，就不继续想下去了。
这道题的解法灵感来自于 Largest Rectangle in Histogram 这道题，假设我们把矩阵沿着某一行切下来，然后把切的行作为底面，将自底面往上的矩阵看成一个直方图（histogram）。直方图的中每个项的高度就是从底面行开始往上1的数量。根据 Largest Rectangle in Histogram 我们就可以求出当前行作为矩阵下边缘的一个最大矩阵。接下来如果对每一行都做一次 Largest Rectangle in Histogram ，从其中选出最大的矩阵，那么它就是整个矩阵中面积最大的子矩阵。
算法的基本思路已经出来了，剩下的就是一些节省时间空间的问题了。
我们如何计算某一行为底面时直方图的高度呢？ 如果重新计算，那么每次需要的计算数量就是当前行数乘以列数。然而在这里我们会发现一些动态规划的踪迹，如果我们知道上一行直方图的高度，我们只需要看新加进来的行（底面）上对应的列元素是不是0，如果是，则高度是0，否则则是上一行直方图的高度加1。利用历史信息，我们就可以在线行时间内完成对高度的更新。我们知道， Largest Rectangle in Histogram 的算法复杂度是O(n)。所以完成对一行为底边的矩阵求解复杂度是O(n+n)=O(n)。接下来对每一行都做一次，那么算法总时间复杂度是O(m*n)。
空间上，我们只需要保存上一行直方图的高度O(n)，加上 Largest Rectangle in Histogram 中所使用的空间O(n)，所以总空间复杂度还是O(n)。代码如下：

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1. public int maximalRectangle(char[][] matrix) {  
2.     if(matrix==null || matrix.length==0 || matrix[0].length==0)  
3.     {  
4.         return 0;  
5.     }  
6.     int maxArea = 0;  
7.     int[] height = new int[matrix[0].length];  
8.     for(int i=0;i<matrix.length;i++)  
9.     {  
10.         for(int j=0;j<matrix[0].length;j++)  
11.         {  
12.             height[j] = matrix[i][j]=='0'?0:height[j]+1;  
13.         }  
14.         maxArea = Math.max(largestRectangleArea(height),maxArea);  
15.     }  
16.     return maxArea;  
17. }  
18. public int largestRectangleArea(int[] height) {  
19.     if(height==null || height.length==0)  
20.     {  
21.         return 0;  
22.     }  
23.     int maxArea = 0;  
24.     LinkedList<Integer> stack = new LinkedList<Integer>();  
25.     for(int i=0;i<height.length;i++)  
26.     {  
27.           
28.         while(!stack.isEmpty() && height[i]<=height[stack.peek()])  
29.         {  
30.             int index = stack.pop();  
31.             int curArea = stack.isEmpty()?i*height[index]:(i-stack.peek()-1)*height[index];  
32.             maxArea = Math.max(maxArea,curArea);  
33.         }  
34.         stack.push(i);  
35.     }  
36.     while(!stack.isEmpty())  
37.     {  
38.         int index = stack.pop();  
39.         int curArea = stack.isEmpty()?height.length*height[index]:(height.length-stack.peek()-1)*height[index];  
40.         maxArea = Math.max(maxArea,curArea);              
41.     }  
42.     return maxArea;  
43. }