线性DP习题题解

已于 2023-02-25 19:38:49 修改
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分类专栏： # OI 普及 文章标签： 算法 图论 c++
于 2023-02-19 14:17:02 首次发布
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最长上升子序列

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int ans=0,a[205],f[205],pre[205];
void h(int x){
	if(x==0)
	    return;
	h(pre[x]);
	cout<<a[x]<<" ";}
int main(){
	int n;
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>a[i];
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		f[i]=1;
		pre[i]=0;
		for(int j=1;j<=i-1;j++){
			if(a[i]>a[j]&&f[j]+1>f[i]){
					f[i]=f[j]+1;
					pre[i]=j; 
			}
		if(f[i]>ans)
				ans=f[i];}
	}
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}

最长公共子序列（LCS）

提示：最长公共子串（Longest Common Substirng）和最长公共子序列（Longest Common Subsequence，LCS）的区别为：子串是串的一个连续的部分，子序列则是从不改变序列的顺序，而从序列中去掉任意的元素而获得新的序列；也就是说，子串中字符的位置必须是连续的，子序列则可以不必连续。字符串长度小于等于1000。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

string a,b;
char a2[22000],b2[22000];
int maxx,dp[22000][22000];

int main(){
	getline(cin,a);
	getline(cin,b);
	int k1=0;
	for(int i=0;i<=a.size();++i){
		if(a[i]>='A'&&a[i]<='Z')
			a2[++k1]=a[i];
	}

	int k2=0;
	for(int i=0;i<=b.size();++i){
		if(b[i]>='A'&&b[i]<='Z')
			b2[++k2]=b[i];
	}
	
	for(int i=1;i<=k1;++i){
		for(int j=1;j<=k2;++j){
			if(a2[i]==b2[j])
				dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j-1]+1);
			else
				dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);
			maxx=max(dp[i][j],maxx);
		}
	}
	if(maxx)
		cout<<maxx;
	else
		cout<<0;
	return 0;
}

挖地雷

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 205
bool edge[N][N];//edge[i][j] :从i到j有一条连线 
int dp[N];//dp[i]:以顶点i为终点的所有路径中，路径上地雷数量加和最大的路径的地雷数量的加和 
int a[N],path[N];//a[i]:第i个地窖的地雷个数,p[i]：第i个顶点的前一个顶点 
void p(int x){//输出以i为终点的路径 
	if(path[x]==0){
		cout<<x;
		return ;
	}
	p(path[x]);
	cout<<"-"<<x;
}//递归调用输出挖地雷的过程
int main(){
	int n,f,t,mxi=1;//mxi表示查询到的第mxi个洞
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>a[i];
	}//输入每个洞对应的地雷数
	while(cin>>f>>t){
		if(f==0&&t==0){//输入两个0，结束输入
			break;
		}
		edge[f][t]=1;//由第f个到第t个的道路连通
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		dp[i]=a[i];//第i个洞内可以挖到a[i]个地雷
		for(int j=1;j<i;j++){
			if(edge[j][i]&&dp[i]<dp[j]+a[i]){
				//从第j个到第i个道路连通并且此时地雷数不是最大
				dp[i]=dp[j]+a[i];
				path[i]=j;//更新挖到这一个洞的最优解
			}
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(dp[i]>dp[mxi]) mxi=i;
	}//查询到可挖到的地雷数比当前的大
	p(mxi);//调用第i个洞对应的通路
	cout<<endl<<dp[mxi];
	return 0;
}

友好城市

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct node{
	int l;
	int r;
}a[5005];
bool cmp(node a,node b){
	return a.l<b.l;
}
int n,ans;
int dp[5005];
int main(){
	cin >> n;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin >> a[i].l >> a[i].r;
	}
	sort(a+1,a+1+n,cmp);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		dp[i]=1;
		for(int j=1;j<i;j++){
			if(a[i].r>=a[j].r && dp[j]+1>dp[i]){
				dp[i]=dp[j]+1;
			}
		}
		if(dp[i]>ans){
			ans=dp[i];
		}
	}
	cout << ans;
	return 0;
}

合唱队形

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[1010]; 
int ans=1;//ans表示留下的人数,至少留下一个i
int s1[1010];//以i结尾的最长上升子序列 
int s2[1010];//以i开始的最长下降子序列
int main(){
	int n;
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>a[i];
		s1[i]=1;
		s2[i]=1;
	}
	
	for(int i=1;i<=n;i++)//以i结尾的最长上升子序列 
		for(int j=1;j<i;j++)
			if(a[j]<a[i]&&s1[j]+1>s1[i])
				s1[i]=s1[j]+1;
	
	for(int i=n;i>=1;i--) //以i开始的最长下降子序列
		for(int j=n;j>i;j--)
			if(a[i]>a[j]&&s2[j]+1>s2[i])
				s2[i]=s2[j]+1;
	
	for(int i=1;i<=n;i++)//遍历所有元素的s1 s2最大和
		ans=max(ans,(s2[i]+s1[i]-1)); //i在两个序列中重复统计故减1	
	cout<<n-ans<<endl;
	return 0;
}

机器分配

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,f[23][23],g[23][23],dp[23][23];
void show(int x,int k){
	if(x==0)
		return;
	show(x-1,k-g[x][k]);
	cout<<x<<" "<<g[x][k]<<endl;
}
int main(){
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=m;j++)
			cin>>f[i][j];
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=m;j++)
			for(int k=0;k<=j;k++){
				if(dp[i][j]<=dp[i-1][j-k]+f[i][k]){
					dp[i][j]=dp[i-1][j-k]+f[i][k];
					g[i][j]=k;
				}
			}
	cout<<dp[n][m]<<endl;
	show(n,m);
	return 0;
}

最大子矩阵

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=105;
int a[N][N];
int main(){
    int n,maxx=-1000000000;
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++){
            cin>>a[i][j];
            a[i][j]+=a[i][j-1];//预处理 
        }
    for(int i=0;i<n;i++){
        for(int j=i+1;j<=n;j++){
            int ans=0;
            for(int k=1;k<=n;k++){
                ans+=a[k][j]-a[k][i];
                maxx=max(maxx,ans);
                ans=max(ans,0);
            }
        }
    }
    cout<<maxx;
    return 0;
}

登山

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
	int maxn=0,n=0,a[1200],f1[1200],f2[1200];//定义 
	cin>>n;//输入景点数 
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>a[i];//输入每个景点的高度 
		f1[i]=f2[i]=1;//初始赋值为1
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){//从前往后 
		for(int j=1;j<=i;j++){//每次都要和前面所有的景点比较 
			if(a[i]>a[j])    f1[i]=max(f1[i],f1[j]+1);//最长上升子序列			
		}
	}
	for(int i=n;i>=1;i--){//从后往前 
		for(int j=n;j>=i;j--){//同样，每次和后面所有景点比较 
			if(a[i]>a[j])    f2[i]=max(f2[i],f2[j]+1);//最长下降子序列			
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)//全部比较一遍 
		maxn=max(maxn,f1[i]+f2[i]-1);//把上山和下山加起来还要减1，因为交汇点算了两次 
	cout<<maxn<<endl;//输出	
	return 0;
}

摘花生

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[1005][1005],dp[1005][1005];

int main(){
	int n,r,c;
	cin>>n;
	while(n--){
		cin>>r>>c;
		for(int j=1;j<=r;j++){
			for(int k=1;k<=c;k++){
				cin>>a[j][k];
			}
		}
		for(int j=1;j<=r;j++){
			for(int k=1;k<=c;k++){
				a[j][k]+=max(a[j-1][k],a[j][k-1]);
			}
		} 
		cout<<a[r][c]<<endl;
	}
	return 0;
}

怪盗基德的滑翔翼

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int k,n,a[150],dp[150],dp2[150];
int main(){
	cin >> k;
	for(int i=1;i<=k;i++){
		cin >> n;
		for(int j=1;j<=n;j++){
			cin >> a[j];
			dp[j]=1;
			dp2[j]=1;
		}
		for(int i=1;i<=n;i++){
			for(int j=1;j<i;j++){
				if(a[i]>a[j] && dp[j]+1>dp[i]){
					dp[i]=dp[j]+1;
				}
			}
		}
		for(int i=1;i<=n;i++){
			for(int j=1;j<i;j++){
				if(a[i]<a[j] && dp2[j]+1>dp2[i]){
					dp2[i]=dp2[j]+1;
				}
			}
		}
		int maxx=0;
		for(int i=1;i<=n;i++){
			maxx=max(maxx,dp[i]);
			maxx=max(maxx,dp2[i]);
		}
		cout << maxx << endl;
	}
	return 0;
}
/*
3
8
300 207 155 299 298 170 158 65
8
65 158 170 298 299 155 207 300
10
2 1 3 4 5 6 7 8 9 10
*/
/*
one:300 299 98 170 158 36
6
*/
/*
two:65 158 170 298 299 300
6
*/
/*
three:1 3 4 5 6 7 8 9 10
9
*/

最低通行费

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

//#define Max 2005
int n;
int a[2000][2200],dp[2222][2000];

int main(){
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;++i){
		for(int j=1;j<=n;++j){
			cin>>a[i][j];
		}
	}
	
	//单独处理第1行第1列 
	for(int i=1;i<=n;++i){
		dp[1][i]=a[1][i]+dp[1][i-1];
		dp[i][1]=a[i][1]+dp[i-1][1];
	}
	
	//处理每个坐标 
	for(int i=2;i<=n;++i){
		for(int j=2;j<=n;++j){
			dp[i][j]=min(dp[i-1][j],dp[i][j-1])+a[i][j];
		}
	}

	cout<<dp[n][n];
	
	return 0;
}

三角形最佳路径问题

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,ans;
int f[2000][2200],dp[2222][2000];

int main(){
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;++i){
		for(int j=1;j<=i;++j){
			cin>>f[i][j];
		}
	}
	for(int i=n;i>=1;i--){
		for(int j=1;j<=i;++j){
			dp[i][j]=max(dp[i+1][j],dp[i+1][j+1])+f[i][j];
		}
	}
	cout<<dp[1][1]<<endl;
	return 0;
}

拦截导弹

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
 
const int maxn=100005;
int dp[maxn],a[maxn];
 
int main()
{
    int n,i,cnt=0,j,t;
    while(cin>>a[cnt]){
        cnt++;
    }
    int ans=0;
    for(i=0;i<cnt;i++)
    {
        dp[i]=1;
        for(j=0;j<cnt;j++)
        {
            if(a[i]<=a[j]&&i!=j)
                dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);
        }
        ans=max(ans,dp[i]);
    }
    cout<<ans<<endl;
    memset(dp,0,sizeof dp);
    ans=0;
    for(i=0;i<cnt;i++)
    {
        dp[i]=1;
        for(j=0;j<cnt;j++)
        {
            if(a[i]>a[j]&&i!=j)
                dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);
        }
        ans=max(ans,dp[i]);
    }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}
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