喷水装置（一）

最新推荐文章于 2018-09-08 10:41:16 发布
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分类专栏： ACM算法/数据结构 文章标签： acm
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喷水装置（一）
时间限制：3000 ms | 内存限制：65535 KB
难度：3
描述
现有一块草坪，长为20米，宽为2米，要在横中心线上放置半径为Ri的喷水装置，每个喷水装置的效果都会让以它为中心的半径为实数Ri(0

C++喷水装置
JH_duangduang的博客
01-30 1157
贪心思想，简单 #include <iostream> #include <cmath> using namespace std; #define N 100001 double a[N]; double square(double a, double b) { return sqrt(a * a - b * b); } void q_sort(int l, int r) { int i = l, j = r; double mid = a[(i + j) / 2]; do
喷水装置（二）
09-13
有一块草坪，横向长w,纵向长为h,在它的橫向中心线上不同位置处装有n(n)个点状的喷水装置，每个喷水装置i喷水的效果是让以它为中心半径为Ri的圆都被润湿。请在给出的喷水装置中选择尽量少的喷水装置，把整个草坪全部...
NYOJ－6－喷水装置（一）
逐梦者
05-11 517
描述 现有一块草坪，长为20米，宽为2米，要在横中心线上放置半径为Ri的喷水装置，每个喷水装置的效果都会让以它为中心的半径为实数Ri(0 < Ri < 15)的圆被湿润，这有充足的喷水装置i（1 < i < 600)个，并且一定能把草坪全部湿润，你要做的是：选择尽量少的喷水装置，把整个草坪的全部湿润。输入 第一行m表示有m组测试数据 每一组测试数据的第一行有一个整数数n，n表示共有n个喷水装置
题目6：喷水装置（一）
杨林峰的笔记
08-23 523
题目连接：http://acm.nyist.net/JudgeOnline/problem.php?pid=6 描述 现有一块草坪，长为20米，宽为2米，要在横中心线上放置半径为Ri的喷水装置，每个喷水装置的效果都会让以它为中心的半径为实数Ri的圆被湿润，这有充足的喷水装置i个，并且一定能把草坪全部湿润，你要做的是：选择尽量少的喷水装置，把整个草坪的全部湿润。输入 第一行m表示有m组测试数据
喷水装置问题（一）
weixin_33816821的博客
09-12 184
描述： 现有一块草坪，长为20米，宽为2米，要在横中心线上放置半径为Ri的喷水装置，每个喷水装置的效果都会让以它为中心的半径为实数Ri(0,15)的圆被湿润，这有充足的喷水装置i(1,600)个，并且 一定能把草坪全部湿润，你要做的是：选择尽量少的喷水装置，把整个草坪的全部湿润． 输入： 第一行m表示有m组测试数据 每一组测试数据的第一行有一个整数数n，n表...
NKOJ喷水装置的代码
09-16
NKOJ喷水装置是一款面向特定领域或行业设计的软件或插件产品。该产品的代码通常包含了多个文件，可能包括源代码、脚本、执行文件和必要的资源文件，例如图像或声音等。源代码可能使用了特定的编程语言编写，例如C、...
行业文档-设计装置-一种四层纸板生产用喷水装置.zip
09-10
喷水装置在四层纸板生产过程中扮演了至关重要的角色，其主要功能可以分为两个方面：一方面，喷水装置调节纸张湿度，维护纸板的平整度与可塑性，这对纸板后续的加工和成型至关重要；另一方面，喷水装置还具有冷却作用...
一种喷水装置的制作方法.docx
11-06
本文介绍的是一种创新的喷水装置的制作方法，主要用于道路清洁。该装置旨在解决现有洒水车中喷水管洒水范围固定，不便调整的问题。以下是该技术的核心内容和特点： 1. **喷水装置结构**：该装置由底座、齿轮、第一...
NYOJ6 之喷水装置（一）
云守护的专栏
10-18 1687
java1: 主要用到贪心算法。 由题目很明显可以得出只要是半径大于１的喷水装置都是可以被选中的，每个装置能够湿润草坪的有效长度为2*sqrt(r*r-1);题目要我们求的是要选择尽量少的的喷水装置，所以可以贪心一下，先按半径从大到小的顺序排序一下，然后for()或while()一下就搞定。 import java.util.*; public class Main { public
南阳ACM6-喷水装置(一)
JUSTACES 的博客
11-12 1745
/* 喷水装置（一） 时间限制：3000 ms  |  内存限制：65535 KB 难度：3 描述 现有一块草坪，长为20米，宽为2米，要在横中心线上放置半径为Ri的喷水装置，每个喷水装置的效果都会让以它为中 心的半径为实数Ri(0 是：选择尽量少的喷水装置，把整个草坪的全部湿润。 输入 第一行m表示有m组测试数据 每一组测试数据的第一行有一个整数数n，n表示共有n个喷水装置，
NYOJ.6喷水装置（一）-贪心初练习
尘世千年的博客
07-25 1427
问题来源： https://blog.youkuaiyun.com/earbao/article/details/49227733 描述 现有一块草坪，长为20米，宽为2米，要在横中心线上放置半径为Ri的喷水装置，每个喷水装置的效果都会让以它为中心的半径为实数Ri(0 输入 第一行m表示有m组测试数据 每一组测试数据的第一行有一个整数数n，n表示共有n个喷水装置，随后的一行，有n个实数ri，ri表...
南阳理工学院oj_喷水装置（一）
小虫梦想家
05-07 976
#include #include #include using namespace std; int main() { int n; while(cin >> n){ while(n--){ int m; double r[600]; cin>>m; for(int i=1;i> r[i]; sort(r+1,r+m+1); //for(int
喷水装置（一）南阳oj
厄尔尼诺的博客
09-08 215
喷水装置（一） 描述 现有一块草坪，长为20米，宽为2米，要在横中心线上放置半径为Ri的喷水装置，每个喷水装置的效果都会让以它为中心的半径为实数Ri(0&lt;Ri&lt;15)0&lt;Ri&lt;15)01&lt;i&lt;600)1&lt;i&lt;600)1...
南阳oj-喷水装置（一）
weixin_30420305的博客
12-08 100
喷水装置（一） 时间限制：3000ms | 内存限制：65535KB 难度：3 描述现有一块草坪，长为20米，宽为2米，要在横中心线上放置半径为Ri的喷水装置，每个喷水装置的效果都会让以它为中心的半径为实数Ri(0<Ri<15)的圆被湿润，这有充足的喷水装置i（1<i<600)个，并且一定能把草坪全部湿润，你要做的是：选择尽量少的喷水装置，把整个...
NYOJ06 喷水装置（一）
lesileqin的博客
09-05 131
喷水装置（一） 时间限制：3000 ms  |  内存限制：65535 KB 题目链接：http://acm.nyist.edu.cn/JudgeOnline/problem.php?pid=6 描述 现有一块草坪，长为20米，宽为2米，要在横中心线上放置半径为Ri的喷水装置，每个喷水装置的效果都会让以它为中心的半径为实数Ri(0&lt;Ri&lt;15)的圆被湿润，这有充足的喷水装置i（...
NYOJ 喷水装置（二）
weixin_34331102的博客
05-05 322
喷水装置（二） 时间限制：3000ms | 内存限制：65535KB 难度：4 描述有一块草坪，横向长w,纵向长为h,在它的橫向中心线上不同位置处装有n(n<=10000)个点状的喷水装置，每个喷水装置i喷水的效果是让以它为中心半径为Ri的圆都被润湿。请在给出的喷水装置中选择尽量少的喷水装置，把整个草坪全部润湿。 输入第一行输入一个...
喷水装置（二）（南阳oj12）（贪心之区间覆盖问题）
My Castle
12-31 540
喷水装置（二） 时间限制：3000 ms  |  内存限制：65535 KB 难度：4 描述有一块草坪，横向长w,纵向长为h,在它的橫向中心线上不同位置处装有n(n<=10000)个点状的喷水装置，每个喷水装置i喷水的效果是让以它为中心半径为Ri的圆都被润湿。请在给出的喷水装置中选择尽量少的喷水装置，把整个草坪全部润湿。 输入第一行输入一个正整数N表示共有n次测
【挑战题】喷水装置
最新发布
08-16
<think>我们讨论的是喷水装置问题，特别是NYOJ中的题目（喷水装置一和二）。用户引用了多个来源，但问题集中在如何用算法解决喷水装置问题。我将结合引用内容，给出完整的算法设计和实现。 ### 问题分析 喷水装置问题有两种变体： 1. **喷水装置（一）**：草坪长20米，宽2米，喷水装置在横向中心线上。每个装置覆盖半径为$r_i$的圆。目标：选择最少的装置覆盖整个草坪。 2. **喷水装置（二）**：草坪长$w$，宽$h$，喷水装置位置不同（给定横坐标）。目标：选择最少的装置覆盖整个草坪，若无法覆盖则输出0。 ### 核心算法：区间覆盖问题 两个问题本质都是区间覆盖问题，但处理方式不同： - **喷水装置（一）**：装置位置固定在中线上，且长度固定（20米），宽度固定（2米）。由于装置可以任意选择，且位置是固定的（沿中心线均匀分布？但题目一没有给出具体位置，所以实际上喷水装置（一）的装置位置是任意的，但题目中装置是放在横中心线上的，且没有指定x坐标，所以我们可以认为装置可以任意放置？但注意：题目描述中喷水装置（一）的输入只有半径，没有坐标，说明装置可以任意放置在中心线上，因此我们可以任意选择装置并任意安排位置（因为题目没有限制位置，所以我们可以认为可以任意放置，但实际题目中喷水装置（一）并没有给出坐标，所以我们可以自由选择位置，但通常我们按覆盖长度排序，然后贪心覆盖）。 然而，仔细阅读引用[2]和[4]中的喷水装置（一）描述： > 现有一块草坪，长为20米，宽为2米，要在横中心线上放置半径为Ri的喷水装置，每个喷水装置的效果都会让以它为中心的半径为实数Ri(0<Ri<15)的圆被湿润。 这里没有指定每个装置的位置，所以我们可以自由安排装置的位置（因为题目没有说位置固定，所以我们可以任意放置）。因此，我们的目标是用最少的装置覆盖20米长。由于草坪宽2米，所以每个装置的有效覆盖长度是$2 \times \sqrt{r_i^2 - 1^2}$（因为覆盖到边缘时，在宽度方向需要覆盖1米，所以用勾股定理计算水平方向的覆盖长度）。注意：当半径小于1时，无法覆盖到草坪（因为宽度一半是1米），所以半径小于1的装置可以直接忽略。 **喷水装置（一）的解法步骤**： 1. 过滤掉半径小于等于1的装置（因为无法覆盖到草坪边缘）。 2. 将剩余装置按覆盖长度（即$2 \times \sqrt{r_i^2 - 1}$）从大到小排序。 3. 贪心选择：从覆盖长度最大的装置开始，依次累加覆盖长度，直到覆盖整个20米。 **代码实现（引用[4]）**： ```c #include<stdio.h> #include<math.h> int main() { int m, n; float a[601], sum, t; scanf("%d", &m); while (m--) { sum = 0.0; scanf("%d", &n); for (int i = 0; i < n; i++) { scanf("%f", &a[i]); } // 冒泡排序（降序） for (int i = 0; i < n - 1; i++) { for (int j = i + 1; j < n; j++) { if (a[i] < a[j]) { t = a[i]; a[i] = a[j]; a[j] = t; } } } // 贪心选择 for (int i = 0; i < n; i++) { // 计算当前装置的有效覆盖长度（乘以2是因为左右覆盖） sum += 2 * sqrt(a[i]*a[i] - 1.0); if (sum >= 20) { printf("%d\n", i + 1); break; } } } return 0; } ``` **注意**：这里覆盖长度累加时，每个装置的有效覆盖长度是独立的，且假设可以无缝拼接（因为可以任意放置，所以可以紧挨着放，覆盖区域连续）。 --- ### 喷水装置（二）的解法 在喷水装置（二）中，每个装置的位置（横坐标）是给定的，且不能改变。因此，我们需要将每个装置的覆盖范围转换成一个区间（因为草坪是沿横向的，所以每个装置覆盖的区间为$[x_i - \sqrt{r_i^2 - (h/2)^2}, x_i + \sqrt{r_i^2 - (h/2)^2}]$）。注意：当$r_i \leq h/2$时，装置无法覆盖到草坪的纵向区域（因为覆盖的宽度不足），所以直接忽略。 **问题转化为区间覆盖问题**： 给定一个长度为$w$的区间（草坪横向长度），以及一系列区间（每个装置覆盖的区间），求最少需要多少个区间才能完全覆盖$[0, w]$。 **算法步骤**： 1. 计算每个装置的有效覆盖区间：$left_i = x_i - \sqrt{r_i^2 - (h/2)^2}$，$right_i = x_i + \sqrt{r_i^2 - (h/2)^2}$。 2. 过滤掉那些$r_i \leq h/2$的装置（因为无法覆盖整个宽度）。 3. 将区间按左端点$left_i$从小到大排序。 4. 使用贪心算法选择区间： - 初始化当前覆盖终点$end = 0$，计数器$count = 0$。 - 在左端点小于等于$end$的区间中，选择右端点最大的区间（即覆盖最远的），然后更新$end$为该右端点，计数器加一。 - 重复直到$end \geq w$，或者无法继续覆盖（即没有可选的区间时，输出0）。 **正确性证明**： 贪心策略：每次选择能够覆盖当前起点并且延伸到最远的区间，这样可以为后续覆盖留下尽可能大的空间。 **代码实现（参考引用[1]）**： ```c #include <stdio.h> #include <math.h> #include <stdlib.h> typedef struct { double left; double right; } Interval; int cmp(const void *a, const void *b) { Interval *ia = (Interval *)a; Interval *ib = (Interval *)b; if (ia->left < ib->left) return -1; else if (ia->left > ib->left) return 1; else return 0; } int main() { int N; scanf("%d", &N); while (N--) { int n; double w, h; scanf("%d %lf %lf", &n, &w, &h); Interval intervals[10000]; int count = 0; // 有效的区间个数 for (int i = 0; i < n; i++) { double xi, ri; scanf("%lf %lf", &xi, &ri); // 如果半径小于等于h/2，则无法覆盖整个宽度，跳过 if (ri <= h/2) continue; double dx = sqrt(ri*ri - (h/2)*(h/2)); intervals[count].left = xi - dx; intervals[count].right = xi + dx; count++; } // 按左端点排序 qsort(intervals, count, sizeof(Interval), cmp); double end = 0.0; int ans = 0; int i = 0; while (end < w) { double max_right = end; // 在左端点小于等于当前end的区间中，找到最大的右端点 while (i < count && intervals[i].left <= end) { if (intervals[i].right > max_right) { max_right = intervals[i].right; } i++; } // 如果无法扩展覆盖范围，则失败 if (max_right == end) { ans = 0; break; } // 选择该区间 end = max_right; ans++; // 注意：这里不需要回退i，因为前面的区间已经扫描过 } printf("%d\n", ans); } return 0; } ``` **注意**：在喷水装置（二）中，排序后，我们使用一个循环来扫描所有左端点小于等于当前覆盖终点$end$的区间，并记录这些区间中右端点的最大值。然后更新$end$为这个最大值，同时计数器加1。如果更新后$end$已经大于等于$w$，则结束。如果扫描过程中发现无法更新$end$（即没有区间可以扩展覆盖），则输出0。 ### 总结 - **喷水装置（一）**：装置位置可任意安排，按覆盖长度从大到小贪心选择。 - **喷水装置（二）**：装置位置固定，转换为区间覆盖问题，按左端点排序后贪心选择。 ### 相关问题 1. 喷水装置（一）中，如果草坪长度不是20米，而是任意值$L$，算法如何调整？ 2. 喷水装置（二）中，如果要求输出具体选择的装置编号，应如何修改算法？ 3. 在区间覆盖问题中，如果存在多个装置有相同的左端点，如何优化选择过程？</think>### 喷水装置问题的算法设计与解法 #### 问题分类及核心思想 喷水装置问题分为两种类型，核心都是**贪心算法**解决区间覆盖问题： 1. **类型一（固定位置）**：装置在中心线任意位置可放置（如NYOJ喷水装置一） - 特征：只给定半径，位置可自由安排 - 贪心策略：优先选择覆盖长度最大的装置[^2][^4] 2. **类型二（固定坐标）**：装置位置固定（如NYOJ喷水装置二） - 特征：给定每个装置的坐标和半径 - 贪心策略：转换为区间覆盖问题，按左端点排序后选择最远右端点[^1] #### 类型一解法（固定位置） **问题描述**：草坪长20m宽2m，选择最少的喷水装置完全覆盖草坪。 **关键公式**： - 单个装置有效覆盖长度：$L_i = 2 \times \sqrt{r_i^2 - 1}$ - 总覆盖长度需满足：$\sum L_i \geq 20$ **算法步骤**： 1. 过滤半径 $r_i \leq 1$ 的装置（无法覆盖宽度） 2. 按半径**降序排序**（等价于覆盖长度降序） 3. 贪心累加覆盖长度直至 $\geq 20$ 米 **代码实现**（C语言）： ```c #include <stdio.h> #include <math.h> int main() { int m, n; scanf("%d", &m); while (m--) { scanf("%d", &n); float radii[n], sum = 0; for (int i = 0; i < n; i++) scanf("%f", &radii[i]); // 降序排序 (冒泡) for (int i = 0; i < n-1; i++) for (int j = i+1; j < n; j++) if (radii[i] < radii[j]) { float t = radii[i]; radii[i] = radii[j]; radii[j] = t; } // 贪心选择 int count = 0; for (int i = 0; i < n && sum < 20; i++) { if (radii[i] <= 1) continue; // 跳过无效装置 sum += 2 * sqrt(radii[i]*radii[i] - 1); count++; } printf("%d\n", count); } return 0; } ``` **时间复杂度**：$O(m \times n^2)$（冒泡排序可优化为快速排序） --- #### 类型二解法（固定坐标） **问题描述**：草坪长$w$宽$h$，装置位置固定，求最少覆盖装置数。 **关键公式**： - 装置覆盖区间：$[x_i - \sqrt{r_i^2 - (h/2)^2},\ x_i + \sqrt{r_i^2 - (h/2)^2}]$ - 有效条件：$r_i > h/2$（否则无法覆盖宽度） **算法步骤**： 1. 计算每个装置的覆盖区间 2. 过滤$r_i \leq h/2$的装置 3. **按区间左端点升序排序** 4. 贪心选择： - 初始化当前覆盖点`end=0` - 选择左端点$\leq$当前`end`且右端点最大的区间 - 更新`end`=最大右端点，计数+1 5. 重复直至`end >= w` **代码实现**（C语言）： ```c #include <stdio.h> #include <math.h> #include <stdlib.h> typedef struct { double left, right; } Interval; int cmp(const void* a, const void* b) { return ((Interval*)a)->left > ((Interval*)b)->left; } int main() { int T; scanf("%d", &T); while (T--) { int n, cnt = 0; double w, h; scanf("%d %lf %lf", &n, &w, &h); Interval intervals[n]; for (int i = 0; i < n; i++) { double x, r; scanf("%lf %lf", &x, &r); if (r <= h/2) continue; // 过滤无效装置 double dx = sqrt(r*r - (h/2)*(h/2)); intervals[cnt++] = (Interval){x - dx, x + dx}; } qsort(intervals, cnt, sizeof(Interval), cmp); double end = 0; int ans = 0, i = 0; while (end < w && i < cnt) { double max_right = end; // 扫描所有左端点<=当前end的区间 while (i < cnt && intervals[i].left <= end) { if (intervals[i].right > max_right) max_right = intervals[i].right; i++; } if (max_right == end) break; // 无法继续覆盖 end = max_right; ans++; } printf("%d\n", end >= w ? ans : 0); } return 0; } ``` **时间复杂度**：$O(n \log n)$（主要来自排序） --- ### 算法正确性证明 1. **类型一**： - 最优子结构：局部最大覆盖长度减少后续所需装置数[^4] - 贪心选择性质：覆盖长度更大的装置必在最优解中 2. **类型二**： - 区间覆盖问题的经典贪心解法 - 反证法：若存在更优解，则必有区间覆盖更少重叠，与最大右端点选择矛盾[^1] > 关键洞察：问题本质是**一维区间覆盖**，二维问题通过勾股定理降维到一维处理[^1][^4] ---
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