随机变量与分布概览-优快云博客

本文介绍了随机变量的概念，包括离散型与连续型随机变量，以及它们的分布函数和概率密度函数。详细讨论了常见离散分布如二项分布、泊松分布等，和连续分布如正态分布、指数分布等的特性及应用。

随机变量

随机变量：定义在样本空间的实值函数，分为离散型随机变量和连续型随机变量。把样本点映射到实数。
随机变量常用大写字母表示。连续随机变量任一个准确值的概率都是0.

随机变量的分布

分布函数

分布函数：设 $X$ 是一个随机变量，对任意的实数 $x$ ,称
$F (x) = P (X \leq x)$ $F(x)=P(X \le x)$
为随机变量 $X$ 的分布函数,记作 $F_X(x)$ 。称 $X$ 服从 $F(x)$ ，记为 $X \sim F(x)$ .
任一随机变量都有它的分布函数。

分布函数的性质（充要条件）

单调性
有界性
右连续性

概率分布列

离散随机变量的概率分布列： $P(X=x_i)=p_i$

分布列的性质（充要条件）

非负性
正则性

概率密度函数

连续随机变量的概率密度函数：设随机变量 $X$ 的分布函数为 $F(x)$ ，如果存在实轴上的一个非负可积函数 $p(x)$ ，使得对任意的实数 $x$ ，有

F (x) = \int x - \infty p (t) d t

$F(x) = \int_{-\infty}^x p(t) \mathrm dt$
则称

p(x) $p(x)$ 为

X $X$ 的概率密度函数，简称为密度函数。

密度函数的性质（充要条件）

非负性
正则性

离散随机变量常见的分布

常见分布

分布

记号

概率公式

备注

离散均匀分布

P(X=ai)=1n $P(X=a_i)=\dfrac 1n$


二点分布	$X\sim \text{Bernoulli}(P)$	$P(X=1)=p$
二项分布	$X\sim B(n,p)$	$P(X=k)=C_n^kp^kq^{n-k}$	n重独立试验
泊松分布	$X\sim \text{Poisson}(\lambda)$	$P(X=k)=\dfrac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}$	计数过程
超几何分布		$P(X=m)=\dfrac{C_M^mC_{N_M}^{n-m}}{C_N^n}$	无放回试验
几何分布	$X\sim G(P)$	$P\{X=k\}=q^{k-1}p$	无记忆性 $P(X>m+n\|X>m)=P(X>n)$
负二项分布（Pascal分布）	$X\sim \text{NB}(p,r)$	$P(X=k)=C_{k-1}^{r-1}p^{r-1}q^{k-r}p$	第r次成功的试验次数
……

离散分布的一些命题

二项分布的归一性

$\sum k = 0 n C k n p k (1 - p) n - k = [p + (1 - p)] n = 1$ $\begin{align*}\sum_{k=0}^nC_n^kp^k(1-p)^{n-k}=[p+(1-p)]^n=1\end{align*}$

二项分布的最大值点

令 $\dfrac{P(X=k)}{P(X=k-1)}\geqslant1$ ，得 $\dfrac{n-k+1}{k}\cdot\dfrac{p}{1-p}\geqslant1$ ，解得 $k\leqslant p(1+n)$ .
所以当 $k=[p(1+n)]$ 的时候概率值最大，并且当 $p(1+n)$ 是整数时，有两个最大值点 $p(1+n)$ 和 $p(1+n)-1$ 。

泊松分布的归一性

$\sum k = 0 \infty λ k k ! e - λ = e λ \cdot e - λ = 1$ $\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}=e^{\lambda}\cdot e^{-\lambda}=1$

泊松分布的最大值点

令 $\dfrac{P(X=k)}{P(X=k-1)}\geqslant1$ ，得 $\dfrac{\lambda}{k}\geqslant 1$ ，解得 $k\leqslant \lambda$ .
所以当 $k=[\lambda]$ 的时候概率值最大，并且当 $\lambda$ 是整数时，有两个最大值点 $\lambda$ 和 $\lambda-1$ 。

二项分布和泊松分布的关系

当n很大，并且 $\lim np\to \lambda<+\infty$ 时，

$C k n p k (1 - p) n - k \sim λ k k ! e - λ$ $C_n^kp^k(1-p)^{n-k}\sim\dfrac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}$
证明：
$C k n p k (1 - p) n - k = = \to = n ! k ! ( n - k ) ! p k (1 - p) n - k 1 k ! (n p) k (1) (1 - 1 n) \dots (1 - k - 1 n) (1 - p) - 1 p \cdot (- n p) (1 - p) - k 1 k ! (n p) k \cdot 1 \cdot 1 \dots \cdot 1 \cdot e - n p \cdot 1 λ k k ! e - λ (λ = n p)$ $\begin{align*}C_n^kp^k(1-p)^{n-k}=&\dfrac{n!}{k!(n-k)!}p^k(1-p)^{n-k}\\ =&\frac{1}{k!}(np)^k(1)(1-\frac 1n)\cdots(1-\frac {k-1}n)(1-p)^{-\frac 1p\cdot (-np)}(1-p)^{-k}\\ \to&\frac 1{k!}(np)^k\cdot 1\cdot 1\cdots\cdot1\cdot e^{-np}\cdot 1\\ =&\dfrac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}(\lambda=np)\end{align*}$
当n很大而p不是很小时，有第二近似公式

$P (X = k) = 1 n p ( 1 - p ) - - - - - - - - \sqrt 1 2 π - - \sqrt e - x 2 k$ $P(X=k)=\frac1{\sqrt{np(1-p)}}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x_k^2}$
其中 $x_k=\dfrac{k-np}{\sqrt{np(1-p)}}$

超几何分布和二项分布的关系

二项分布是有放回的试验，超几何分布是无放回的试验。

$P (X = k) = C k M C n - k N - M C n M$ $P(X=k)=\frac{C_M^kC_{N-M}^{n-k}}{C_M^n}$
当N很大，且 $N\to\infty$ 时有 $\dfrac{M(N)}{N}\to p$ ，那么
$lim N \to \infty C k M C n - k N - M C n M = C k n p k (1 - p) n - k$ $\lim_{N\to\infty}\frac{C_M^kC_{N-M}^{n-k}}{C_M^n}=C_n^kp^k(1-p)^{n-k}$

负二项分布的归一性

连续随机变量常见分布

连续型随机变量常见分布

连续分布	符号	密度函数	说明
均匀分布	$U(a,b)$	$\dfrac1{b-a},a<x<b$
指数分布	$E(\lambda)$	$\lambda e^{-\lambda},x>0$	无记忆性： $P(x>s+t\|x>s)=P(x>t)$
正态分布	$N(\mu,\sigma^2)$	$\dfrac {1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac 1{2\sigma^2}(x-\mu)^2}$	标准正态分布 $N(0,1)$ ;正则化 $P(x<b)=\Phi(\dfrac{b-\mu}{\sigma})$
伽马分布	$\Gamma(\alpha,\beta)$	$\dfrac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}e^{-\beta x},x>0$	$\alpha$ 曲线参数， $\beta$ 速率参数， $\theta=\frac 1\beta$ 尺度参数
威布尔分布	$W(m,\eta)$	$\dfrac{m}{\eta^m}x^{x-1}e^{-(\frac x\eta)^m},x>0$	$m$ 形状参数， $\eta$ 刻度参数
柯西分布		$F(x)=\dfrac1{\pi} \left( \arctan x + \dfrac{\pi}2 \right)$
……

正态分布

$X\sim N(\mu,\sigma^2)$
$p (x) = 1 2 π - - \sqrt σ e - 1 2 σ 2 (x - μ) 2$ $p(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac 1{2\sigma^2}(x-\mu)^2}$
标准正态分布： $N(0,1)$
$\mu$ 均值、期望、mode，中位数
$\sigma^2$ 方差
$\sigma$ 标准差
$\int x \infty ϕ (t) d t = Φ (x)$ $\int_{\infty}^x\phi(t)dt=\Phi(x)$
查表
重要的值 $(0,0.5),(1.96,0.975),(1.645,0.95)$
对一般的正态分布，正则化
$N(\mu,\sigma^2)$
$P (x < b) = Φ (b - μ σ)$ $P(x<b)=\Phi\left(\frac{b-\mu}{\sigma}\right)$
$P (x > a) = 1 - Φ (a - μ σ)$ $P(x>a)=1- \Phi\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\right)$
经验规则：
$P （ μ - σ, μ + σ ） = 0.6827$ $P（\mu-\sigma,\mu+\sigma）=0.6827$
$P （ μ - 2 σ, μ + 2 σ ） = 0.9545$ $P（\mu-2\sigma,\mu+2\sigma）=0.9545$
$P （ μ - 3 σ, μ + 3 σ ） = 0.9973$ $P（\mu-3\sigma,\mu+3\sigma）=0.9973$