数学思维 | 方法 / 基本原理

注：本文为 “数学思维 | 方法 / 基本原理” 相关合辑。
略作重排，如有内容异常，请看原文。

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数学方法谈

dog250 于 2017-08-05 09:47:22 发布

什么是现代数学

若你认为数学仅是类似哲学的纯思辨性学科，可忽略下文；反之，请耐心读完，哪怕心怀不满、愤愤不平。

古希腊时期，数学确实是纯思辨哲学的分支。但从罗马帝国的地中海世界开始，直至今日，数学本质上是工具，用于解决实际数据处理中的难题，而非考试中的解题技巧。

炼丹术与占星术常被视作迷信，实则不然，它们与数学渊源深厚。需明确，现代数学与古希腊数学截然不同，理解现代数学本质时，切勿提及毕达哥拉斯学派等古希腊数学概念。炼丹术与占星术堪称现代化学与天文学的先祖，当它们无法再靠咒语糊弄国王时，为保住地位，不得不拿出实证，进而被推入现代科学的 “深渊”。切勿将哥白尼、伽利略、牛顿等人视为具备现代科学素养的理性人物，在他们所处的时代，他们同样身披神学外衣。只是在处理棘手问题时，他们偶然窥见部分真相，为使这些真相在逻辑上站得住脚，他们需处理海量数据，试图挖掘数据背后隐藏的关系。在这一过程中，他们被数据的复杂性与关系的繁杂所困扰，于是创造出一些处理技巧，而这些技巧正是现代数学的前身。可以说，炼丹术与占星术催生了现代物理，现代物理又激发了现代数学，其间神学与哲学相互渗透、相互对抗，贯穿始终。

明白这些后，再看如今中学、大学的数学教学，便会觉得其毫无意义。这些课程看似高深，实则不然。我上大学时（当时还是本科生，后来才 “进修” 到大专），老师讲授梯度、散度、旋度等内容，最终要求我们背诵一大堆定理与公式。我曾问老师这些知识有何用途，老师回答说这是期末考试的必考点，以后考研也会用到。后来我退学后，在女朋友（小小他妈）学校外的村子里租了房子。刚去时，正逢她们班期末考试，要考高等数学，内容包括洛必达法则、牛顿 - 莱布尼茨公式等。我简直惊呆了，她们是日语教育专业的，考这些内容有何意义！

尽管抱怨无济于事，但我仍需拖着疲惫的身体为她们讲解高等数学，还包括她同班的男生，总之就是我女朋友的全班同学。讲着讲着，我就上瘾了（其实也没讲多久）。当有人问我学这些有何用时，我总是微笑着回答：这些都是必考点，以后考研也会考。说这话时，我特别自豪，微笑中带着一丝嘲讽与洒脱，因为我再也不用参加考试和考研了！我不知道当时回答我的老师是否也是这么想的。

此后，在我的学习生涯中，我彻底摒弃了学校那一套，因为我再也不用考试，也不会再参加任何形式的考试。于是，我变得天马行空。我从马鞍面导出了 Linux Netfilter 的设计模型，最终发现作者也是这么想的。后来我想，仅仅精通 iptables 的配置或者看完 conntrack 的代码是多么低级，于是进一步探索了 Cisco 和 Netfilter 在设计上的差异，最终实现了基于 Netfilter 的 Cisco 模型。在我学习最小二乘法时，我试图理解 “平方” 的深层含义。后来我看了牛顿的《原理》，发现平方律和立方律竟是构成我们世界的基本元素！

说牛顿是外星人，我深表赞同。但牛顿究竟是如何思考的呢？

1905 年，爱因斯坦的 “奇迹年”，主角是一位不修边幅、收入不高的专利局小职员，有点像《三体》的作者刘慈欣，在火电站工作，不好好上班，天天在上班时间写小说……然而正是这位爱因斯坦道出了现代数学的本质 —— 它只是工具！爱因斯坦从未系统学习过现代数学，他只是在需要用到时去请教身边的数学专家，他真的把数学当作扳手来使用。我不清楚其他人怎么想，但在我看来，狄拉克的算符、费曼的积分、霍金的虚时间轴，这些都只是数学技巧。若问它们的物理意义，我觉得连他们本人都说不清楚，只是 “这么处理很方便”，仅此而已。

那么，既然现代数学只是工具，岂不是显得很低端？非也！每一个数学上的突破，都代表着一系列的总结，最终会引领新的突破。在这方面，数学已经取代了哲学。在我的计算机工作领域，任何一个想法，如果你不能用数学表达出来，那便是 “不可处理的”。不可处理的东西能完成 KPI 吗？于是就有了数学建模。然而，建立模型又谈何容易。

笛卡尔几何的意义

记得以前读霍金的《果壳中的宇宙》时，惊叹于霍金引入虚时间，构造了一个 “球形的宇宙模型”，然后可以在这一 “球体” 上进行复杂运算，从而得出宇宙是有限无界的结论。若不引入虚时间，最终将是一个 “暴涨” 模型，延伸至无穷远处。然而，什么是无穷远，这又是一个哲学问题。值得注意的是，引入虚时间只是为了 “计算上的简便”，因为无法从数学上处理无穷的概念，所以引入时间的复平面，只是为了在数学上对模型进行定量刻画与计算。

我惊叹的并非霍金宇宙模型本身，而是其背后的方法。而这一方法源自 17 世纪的法国大师笛卡尔。

我们都知道笛卡尔的贡献，即平面直角坐标系，还有一门专门的课程叫《解析几何》（我个人非常喜欢这门课程），研究的就是用 “算术方法解决几何问题”。这些计算技巧，随便找个高中生或大学生都会。然而，在这一系列计算技巧以及众多公式背后，方法论的意义远大于此。也就是说，笛卡尔提出了一套方法论，从此以后，只要照着做就能得到答案，再也不需要聪明才智和神来之笔的灵感（这话有点夸张，只是想表达我对笛卡尔方法的惊叹）。换句话说，笛卡尔把几何学大众化了，这是他的伟大之处。

我来举几个例子。

在古希腊，欧几里得（类似的人物还有毕达哥拉斯、阿基米德等）大师发现或发明了许多 “小技巧”，试图完成他们心中那些伟大的证明，比如尺规三等分角、无理数、垂心定理等。在求解这些问题时，没有任何既定的方法步骤（即 step by step 的 howto），这类问题需要人们的灵感，比如巧妙的辅助线、巧妙的问题转换等。然而，如果将问题放到笛卡尔坐标系中，天啊，这就变成了解方程问题！

具体来说：

1. 一个三角形可以用三个直线方程表示，一个圆形可以用一个二次方程表示，尺规能否作图，就是要看尺子画的直线方程和圆规画出的圆的方程经过一系列联立组合后是否有解的问题。
2. 垂心定理问题则更简单，三条垂线的方程是否有公共解！

该怎么说呢？这很简单，以前需要精英拜大师，成立学派奋斗几代人的事情，现在可以作为 howto 在中学教育中普及了。你还在崇拜那些 “数学学得好” 的同学吗？他们可能只是熟记了这套方法和技巧的 step by step 而已。按理来讲，文科生经过训练也应该可以做到。

如果说笛卡尔提供了一个装配几何轮子的流水线，那么近现代大多数数学领域的专家学者都是这流水线上的工人。只有能够深刻领会笛卡尔方法论的人，才能再次成为大师。我的意思是，不要去当流水线工人，而是去创造一套新的流水线，将复杂的问题变得 “可操作”“流程可控”“消除不确定”，正如笛卡尔坐标系将所有几何问题转换为代数解方程问题一样。除此之外，笛卡尔方法论还有一个更为重要的特征，它不仅提供了一套 howto，还提供了一个舞台，在这个舞台上，直接催生了微积分，当然这已超出本文主题范围。

最后，我们来看看都有哪些由笛卡尔方法论促成的流水线。

从 16、17 世纪以来，这方面的例子非常多，但我认为典型的包括矩阵行列式、复平面、狄拉克算符、费曼路径积分、霍金虚时间等。其实，早在笛卡尔之前很久，依照这种方法论就已经有很多成果了，比如负数的出现、0 的发现等。

因此，我们需要仔细研究笛卡尔方法论背后的意义。笛卡尔作为集大成者，和牛顿以及所有大师一样，也是站在前辈的肩膀上做出了举世瞩目的成就，留下了宝贵的遗产。在此，推荐一本书，北京大学出版社出版的科学元典译丛中的一本《笛卡尔几何》（这套书中几乎每一本我都看过，非常不错，返璞归真，原汁原味，强烈建议阅读）。

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数学的思维方式与基本原理

By bossmen，2019年1月9日

数学以公式之优美、理论之奇妙、论证之严密、应用之广泛令人惊叹不已！究其原因，数学的思维方式发挥着巨大的威力，深深影响着其它学科的发展。

什么是数学的思维方式?

数学的思维方式是一个全过程：观察客观现象，提出要研究的问题，抓住主要特征，抽象出概念，或者建立模型。

运用解剖麻雀、直觉、归纳、类比、联想、逻辑推理等进行探索，猜测可能有的规律；采用公理化的方法，即只适用公理、定义和已经证明了的定理进行逻辑推理来严密论证，揭示事物的内在规律，从而使纷繁复杂的现象变得井然有序

一、数学的重要定理牛顿—莱布尼茨公式（微积分基本定理）

若函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，且存在原函数 $F(x)$，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积，且 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数，则，

$$\text{微积分基本定理}{\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$$

牛顿—莱布尼茨公式，沟通了导数与定积分之间的关系。

欧氏几何公理（五条几何公理内容）

1.过相异两点，能作且只能作一直线（直线公理）。
2.线段(有限直线)可以任意地延长。
3.以任一点为圆心、任意长为半径，可作一圆(圆公理)。
4.凡是直角都相等(角公理)。
5.两直线被第三条直线所截，如果同侧两内角和小於两个直角，则两直线作延长时在此侧会相交。

非欧几何即非欧几里得几何Non-Euclidean geometry

非欧几里得几何是一门大的数学分支，一般来讲，它有广义、狭义、通常意义这三个方面的不同含义。所谓广义式泛指一切和欧几里得几何不同的几何学，狭义的非欧几何只是指罗氏几何来说的，至于通常意义的非欧几何，就是指罗氏几何和黎曼几何这两种几何。

伽罗瓦理论

伽罗瓦完全解决了高次方程的求解问题，他建立于用根式构造代数方程的根的一般原理，这个原理是用方程的根的某种置换群的结构来描述的，后人称之为“伽罗瓦理论”

二、数学的思维方式

1、归纳思维

归纳是人类赖以发现真理的基本的、重要的思维方法。著名数学家高斯曾说：“我的许多发现都是靠归纳取得的。

”著名数学家拉普拉斯指出：“分析和自然哲学中许多重大的发现，都归功于归纳方法…牛顿二项式定理和万有引力原理，就是归纳方法的成果。人类认识活动，总是先接触到个别事物，而后推及一般，又从一般推及个别，如此循环往复，使认识不断深化。归纳就是从个别到一般，演绎则是从一般到个别。

在数学里，发现真理的主要工具和手段是归纳和类比。

归纳是在通过多种手段（观察、实验、分析、计算……）对许多个别事物的经验认识的基础上，发现其规律，总结出原理或定理。

归纳是从观察到一类事物的部分对象具有某一属性，而归纳出该事物都具有这一属性的推理方法。或者说，归纳思维就是要从众多的事物和现象中找出共性和本质的东西的抽象化思维。

也可以说，归纳是在相似中发现规律，由个别中发现一般。从数学的发展可以看出，许多新的数学概念、定理、法则、……的形式，都经历过积累经验的过程，从大量观察、计算，然后归纳出其共性和本质的东西。

2、类比思维

著名日本物理学家、诺贝尔奖获得者汤川秀澍指出：“类比是一种创造性思维的形式。”著名哲学家康德指出：“每当理智缺乏可靠论证的思路时，类比这个方法往往能指引我们前进。”

类比是根据两个（或多个）对象内部属性、关系的某些方面相似，而推出它们在其它方面也可能相似的推理。简单地说，类比就是由此去发现彼（或由彼去发现此）。

”类比是根据两个（或多个）对象内部属性、关系的某些方面相似，而推出它们在其它方面也可能相似的推理。简单地说，类比就是由此去发现彼（或由彼去发现此）。

类比为人们思维过程提供了更广阔的“自由创造”的天地，使它成为科学研究中非常有创造性的思维形式，从而受到了很多著名科学家的重视与青睐。

例如： 著名天文学、数学家开普勒说：“我珍视类比胜于任何别的东西，它是我最可信赖的老师它能揭示自然的奥秘。

著名数学家、教育学家波利亚说：“类比是一个伟大的引路人，求解立体几何问题往往有赖于平面几何中的类比问题。
”实践证明：在学习过程中，将新内容与自己已经熟悉的知识。进行类比，不但易于接受、理解、掌握新知识，更重要的是：培养、锻炼了自己的类比思维，有利于自己的创造。

类比思维是一种或然性极大的逻辑思维方式，它的创造性表现在发明创造活动中人们能够通过类比已有事物开启创造未知事物的发明思路，其中隐含有触类旁通的涵义。它把己有的事和物与一些表面看来与之毫不相于的事和物联系起来，寻找创新的目标和解决的方法。

发明创造中的类比思维，不受通常的推理模式的束缚，具有很大灵活性和多样性。在发明创造活动中常见的形式有：形式类比、功能类比和幻想类比等多种类型。

形式类比包括形象特征、结构特征和运动特征等几个方面的类比，不论哪个形式都依赖于创造目标与某一装置或客体在某些方面的相似关系。

如飞机与鸟类、飞机与蜻蜒，由鸟的飞行运动制成了飞机，飞机高速飞行时机翼产生强烈振动，有人根据蜻蜒羽翅的减振结构设计了飞机的减振装置。人类根据海豚的外形设计潜艇等都是类比的结果。

功能类比是根据人们的某种愿望或需要类比某种自然物或人工物的功能，提出创造具有近似功能的新装置的发明方案，这种方法特别在仿生学研究上有广泛应用，例如各种机械手、鳄鱼夹等。

3、发散思维

所谓具有发散特性的思维是指信息处理的途径灵活多变，求结果的丰富多样。它是一种开放性的立体思维，即围绕某一问题，沿着不同方向去思考探索，重组眼前的信息和记忆中的信息，产生新的信息并获得解决问题的多种方案。

因此，也把发散思维称为求异思维，它是一种重要的创造性思维。用“一题多解”，“一题多变”等方式，发散式地思考问题，往往能找到解决问题的最优解。

4、逆向思维

逆向思维（又称反向思维）是相对于习惯性思维的另一种思维形式。它的基本特点是从已有的思路的反方向去思考问题。它对解放思想、开阔思路、解决某些难题、开创新的方向，往往能起到积极的作用。

逆向思维也叫求异思维，它是对司空见惯的似乎已成定论的事物或观点反过来思考的一种思维方式。敢于“反其道而思之”，让思维向对立面的方向发展，从问题的相反面深入地进行探索，树立新思想，创立新形象。

当大家都朝着一个固定的思维方向思考问题时，而你却独自朝相反的方向思索，这样的思维方式就叫逆向思维。

人们习惯于沿着事物发展的正方向去思考问题并寻求解决办法。其实，对于某些问题，尤其是一些特殊问题，从结论往回推，倒过来思考，从求解回到已知条件，反过去想或许会使问题简单化。

逆向性思维在各种领域、各种活动中都有适用性，由于对立统一规律是普遍适用的，而对立统一的形式又是多种多样的，有一种对立统一的形式，相应地就有一种逆向思维的角度，所以，逆向思维也有无限多种形式。

如性质上对立两极的转换：软与硬、高与低等；结构、位置上的互换、颠倒：上与下、左与右等；过程上的逆转：气态变液态或液态变气态、电转为磁或磁转为电等。不论那种方式，只要从一个方面想到与之对立的另一方面，都是逆向思维。

数学作为其他很多学科的基础学科，很多学科都在借鉴数学中的思维方式，而欧氏几何提出的公理化思维更是被很多科学研究的基石方法论。

数学思维的学习除了为解决问题提供工具外，就是锻炼人的逻辑思维能力，能够在面对问题的时候，理性的分析因果利弊，通过表象洞悉事物本质，然后依靠多重假设和逻辑推演来预测事物发展的所有可能性，最终解决问题。

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via：

• 数学方法谈-优快云博客
  https://blog.youkuaiyun.com/dog250/article/details/76703478

  • 笛卡尔《解析几何》最核心原文片段 - 知乎
    https://zhuanlan.zhihu.com/p/57480052

• 数学的思维方式与基本原理
  https://www.madewill.com/thinking-model/mathematical-mode-of-thinking.html