傅里叶级数 | 傅里叶变换（一）

注：本文为 “傅里叶级数与傅里叶变换” 相关文章。

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现拆分为两篇，链接附后。

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傅里叶级数与傅里叶变换（一）

Dwzb’s 2020-01-20

傅里叶级数

在一定条件下，任意周期为 $T=\frac{2\pi }{w}$ 的函数 $f(t)$ 都可以用一系列正弦函数展开，此时需要满足 $T$ 也要是这些正弦函数的周期（不要求正弦函数周期是 $T$ ，只要能被 $T$ 整除就行了），如下所示 一定条件

$$f(t)=A_0+\sum _{n=1}^{\infty }{A}_n\sin (nwt+{\phi }_n)\text{\hspace{1em}(1)}$$

当 $f(x)$ 满足这个条件时，它的傅里叶级数收敛到 $f(x)$ ，也就是说在这个条件满足的情况下， $f(x)$ 可以写成傅里叶级数形式。

收敛定理-狄利克雷充分条件

设周期函数 $f(x)$ 的周期为 $T$ ，如果 $f(x)$ 满足在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点，并且至多只有有限个极值点，则 $f(x)$ 的傅里叶级数收敛，且有：

• 当 $x$ 是 $f(x)$ 的连续点时，级数收敛于 $f(x)$ 。
• 当 $x$ 是 $f(x)$ 的间断点时，收敛于 $\frac{f(x-0)+f(x+0)}{2}$ 。

这表示，只要 $f(x)$ 在区间 $[-\frac{T}{2},\frac{T}{2}]$ 上至多只有有限个第一类间断点，并且不作无限次振动即可。我们通常见到的函数都满足这个条件，所以可以直接用公式计算系数，将函数写成傅里叶级数形式。

注：第一类间断点表示间断点处左右极限都存在，包括可去间断点和跳跃间断点。

这表示即使是方波也可以通过弯曲的正弦函数逼近，如下图所示

上式说明，如果我们知道等式右侧的所有三角函数信息，就可以知道 $f(t)$ 的的全部信息。如果我们想将 $f(t)$ 分解成这种加和的形式，就是想求每个三角函数的三个部分信息：振幅 $A_n$ ，频率 $\frac{n}{T}$ ，初相 ${\phi }_n$ 。 $f(t)$ 周期已知则每个三角函数的频率已知，而振幅 $A_n$ 和初相 ${\phi }_n$ 不好算，我们可以对右式加以变形转化问题。由和角公式可知

$$A_n\sin (nwt+{\phi }_n)=a_n\cos (nwt)+b_n\sin (nwt)\text{\hspace{1em}(2)}$$

其中 $a_n=A_n\sin {\phi }_n$ ， $b_n=A_n\cos {\phi }_n$ 。这样初相 ${\phi }_n$ 的信息就被移到了系数之中。

再记 $A_0=\frac{a_0}{2}$ ，则 $f(t)$ 的展开公式可以写成

$$\begin{array}{rl}f(t)& =\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left[a_n\cos (nwt)+b_n\sin (nwt)\right]\\ & =\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left[a_n\cos \frac{2\pi nt}{T}+b_n\sin \frac{2\pi nt}{T}\right]\end{array}\text{\hspace{1em}(3)}$$

问题就转化为求 $a_n$ 和 $b_n$ ，利用三角函数系正交的性质，可以通过积分计算出 $a_n$ 和 $b_n$ 。

$$\begin{array}{r}{a}_n=\frac{2}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)\cos \frac{2n\pi t}{T}\mathrm{d}t,n=0,1,2,\cdots \\ b_n=\frac{2}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)\sin \frac{2n\pi t}{T}\mathrm{d}t,n=1,2,3,\cdots \end{array}$$

三角函数系

$1,\cos x,\sin x,\cos 2x,\sin 2x,\cdots ,\cos nx,\sin nx,\cdots$

在区间 $[-\pi ,\pi ]$ 上正交，即两两乘积在这个区间内积分为 0。具体如下：
$$\begin{array}{rl}& {\int }_{-\pi }^{\pi }\cos nx\mathrm{d}x=0,n=1,2,3,\cdots \\ & {\int }_{-\pi }^{\pi }\sin nx\mathrm{d}x=0,n=1,2,3,\cdots \\ & {\int }_{-\pi }^{\pi }\cos mx\cos nx\mathrm{d}x=0,m\ne n,m,n=1,2,3,\cdots \\ & {\int }_{-\pi }^{\pi }\sin mx\sin nx\mathrm{d}x=0,m\ne n,m,n=1,2,3,\cdots \\ & {\int }_{-\pi }^{\pi }\sin mx\cos nx\mathrm{d}x=0,m,n=1,2,3,\cdots \end{array}$$

证明示例：通过积化和差公式，有
$${\int }_{-\pi }^{\pi }\cos mx\cos nx\mathrm{d}x=\frac{1}{2}{\int }_{-\pi }^{\pi }[\cos (m+n)x+\cos (m-n)x]\mathrm{d}x=0$$

除了上述公式外，还有下面两个公式：
$$\begin{array}{rl}& {\int }_{-\pi }^{\pi }{\cos }^{2}nx\mathrm{d}x=\pi ,n=0,1,2,3,\cdots \\ & {\int }_{-\pi }^{\pi }{\sin }^{2}nx\mathrm{d}x=\pi ,n=1,2,3,\cdots \end{array}$$

傅里叶级数系数求解

对于周期为 $T$ 的函数 $f(t)$，首先进行一步变换，将周期变成 $2\pi$。令

$z=\frac{2\pi t}{T}$

则 $f(t)$ 可写成

$F(z)=\frac{a_0}{2}+{\sum }_{n=1}^{\infty }(a_n\cos nz+b_n\sin nz)$

（其实就是将 $f(t)$ 公式中的 $\frac{2\pi t}{T}$ 统一写成 $z$，这时式子是关于 $z$ 的函数，所以写成 $F(z)$，实际上 $F\left(\frac{2\pi t}{T}\right)=f(t)$。）

第一步，两侧同时在 $[-\pi ,\pi ]$ 区间上积分，由三角函数系正交性质可消去0项，得到 $a_0$：

$a_0=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }F(z)\mathrm{d}z$

第二步，两侧同时乘 $\cos nz$，再积分可得：

$a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }F(z)\cos nz\mathrm{d}z$

第三步，两侧同时乘 $\sin nz$，再积分可得：

$b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }F(z)\sin nz\mathrm{d}z$

其中第一步可以统一到第二步里，再将 $z$ 换成 $\frac{2\pi t}{T}$ 可得：
$$\begin{array}{rl}{a}_n& =\frac{2}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)\cos \frac{2n\pi t}{T}\mathrm{d}t,n=0,1,2,\cdots \\ b_n& =\frac{2}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)\sin \frac{2n\pi t}{T}\mathrm{d}t,n=1,2,3,\cdots \end{array}$$

有了 $a_n$ 和 $b_n$ ，就可以计算振幅 $A_n$ 和初相 ${\phi }_n$ ，我们就完成了 $f(t)$ 的分解。

补充说明

• 直观理解 $a_n$ 和 $b_n$ 的计算过程：将三角函数系看做基，要求的是 $f(t)$ 的坐标，即 $f(t)$ 在各个基上的投影，用 $f(t)$ 和基做内积来计算，积分相当于内积运算。

• 当 $f(t)$ 为奇函数时，傅里叶系数 $a_n=0,n=0,1,\cdots$ ，此时傅里叶级数展开全由 $\sin$ 构成，且没有常数项

• 当 $f(t)$ 为偶函数时，傅里叶系数 $b_n=0,n=1,2,\cdots$ ，此时傅里叶级数展开全由 $\cos$ 构成

• 有时会看到计算 $a_n,b_n$ 时积分范围是 $[0,T]$ ，这也是一样的，都是在一个周期内积分，三角函数系正交性在 $[0,T]$ 下也是成立的

• 有时会看到一种写法： $a_n,b_n$ 表达式前没有 $\frac{2}{T}$ 项。这时会发现 $(3)$ 式中有一个 $\frac{2}{T}$ 被提到最前面了，所以 $a_n,b_n$ 就是未被scaled的项

• 连续函数 $f(t)$ 展开后是离散的加和；如果将 $a(\frac{n}{T})$

  看做一个函数（系数-频率函数），自变量只取离散的值；可以发现当 $T$ 逐渐增大时，这个函数的定义域会越来越密集，极限下覆盖整个坐标轴。也就是说，当 $T\to \infty$ 时，$f(t)$ 是非周期函数，系数-频率函数是连续的

  • 频率的解释：展开每一项的周期是 $2\pi /\frac{2n\pi }{T}=\frac{T}{n}$ ，频率是周期的倒数，即 $\nu =\frac{n}{T}$ ，所以上面的系数-频率函数应写成 $a(\nu )$
  • 频率的含义：比如周期是 $T$ ，说明经过 $T$ 这么长时间能转一圈；频率就是 $1$ 这么长时间能转多少圈
  • 有的资料里自变量用的是角频率。角频率是频率乘 $2\pi$ ，上面公式中的 $w$ 就是角频率；考虑角度， $T$ 这么长时间能转 $2\pi$ 角度，角频率就表示 $1$ 这么长时间能转多大角度。

• 对于非周期函数

  • 如果定义在有限区间，则可以通过周期延拓（复制这段到无穷区间）变成周期函数，得到傅里叶级数后再对定义域进行限制。此时展开式仍是在用级数表示。
    • 此处要注意，定义在有限区间，表示区间以外无定义；如果是区间以外都为0则是定义在无限区间上的非周期函数
  • 如果定义在无限区间，则展开用积分表示（傅里叶积分）

• 本文偏重直观理解，若有证明也只是为了加深理解；对于一些极限收敛、间断点等理论方面内容读者可自行参考教材

傅里叶级数的复数形式

如果有两个周期函数 $f(t)$ 和 $g(t)$ ，要在傅里叶级数下计算二者的乘积，上面的展开方式就比较难算，要用各种积化和差公式推导，此时我们可以将傅里叶级数写成复数形式，利用欧拉公式

$$e^{ix}=\cos x+i\sin x$$

我们的目的是将式 $(3)$ 中的正弦余弦项都换成 $e^{ix}$ 形式。由欧拉公式可知

$$\begin{array}{rl}\cos x& =\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\\ \sin x& =\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}=-\frac{i}{2}(e^{ix}-e^{-ix})\end{array}$$

因此式 $(3)$ 可写成

$$\begin{array}{rl}f(t)& =\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left[a_n\cos \frac{2\pi nt}{T}+b_n\sin \frac{2\pi nt}{T}\right]\\ & =\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left[\frac{a_n}{2}(e^{i\frac{2\pi nt}{T}}+e^{-i\frac{2\pi nt}{T}})-\frac{i{b}_n}{2}(e^{i\frac{2\pi nt}{T}}-e^{-i\frac{2\pi nt}{T}})\right]\\ & =\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left[(\frac{a_n}{2}-\frac{b_n}{2}i)e^{i\frac{2\pi nt}{T}}+(\frac{a_n}{2}+\frac{b_n}{2}i)e^{-i\frac{2\pi nt}{T}}\right]\\ & =c_0+\sum _{n=1}^{\infty }\left[c_n{e}^{i\frac{2\pi nt}{T}}+c_{-n}{e}^{-i\frac{2\pi nt}{T}}\right]\end{array}\text{\hspace{1em}(4)}$$

其中

$$\begin{array}{rlrl}{c}_0& =\frac{a_0}{2}& =& \frac{1}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)\mathrm{d}t\\ c_n& =\frac{a_n-i{b}_n}{2}& =& \frac{1}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)\left(\cos \frac{2n\pi t}{T}-i\sin \frac{2n\pi t}{T}\right)\mathrm{d}t\\ & & =& \frac{1}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-i\frac{2n\pi t}{T}}\mathrm{d}t,n=1,2,3,\cdots \\ c_{-n}& =\frac{a_n+i{b}_n}{2}& =& \frac{1}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)\left(\cos \frac{2n\pi t}{T}+i\sin \frac{2n\pi t}{T}\right)\mathrm{d}t\\ & & =& \frac{1}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{i\frac{2n\pi t}{T}}\mathrm{d}t,n=1,2,3,\cdots \end{array}$$

进一步统一、简化

$$f(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{c}_n{e}^{i\frac{2n\pi t}{T}}\text{\hspace{1em}(6)}$$

其中

$$c_n=\frac{1}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-i\frac{2n\pi t}{T}}\mathrm{d}t,n=0,\pm 1,\pm 2,\cdots \text{\hspace{1em}(7)}$$

现在，满足一定条件的周期函数 $f(t)$ 都可以表示成 $(6)$ 式形式。回到本节最开始的问题，如果两个函数相乘，用级数来计算，则 $(6)$ 式这种形式用指数来成显然方便得多。

如果直接看 $(6)$ 式可能会有疑惑， $e$ 项展开后是复数形式， $c_n$ 也是复数，而 $f(t)$ 是实数，这说明相乘相加后虚部全都消掉了。确实如此，推导的话其实就是 $(4)$ 式的逆过程；关键点在于， $n$ 取正负对称位置放在一起，可以将虚部消掉。

同时 $(6)$ 式表明，在周期 $T$ 已知的情况下， $e^{i\frac{2n\pi t}{T}}$ 的形式固定，则 $f(t)$ 中全部的信息可以由序列 { c n } \{c_n\} {cn​} 表示。 $f(t)$ 和 { c n } \{c_n\} {cn​} 的信息等同

• 已知 { c n } \{c_n\} {cn​} 时可以通过 $(6)$ 式计算 $f(t)$
• 已知 $f(t)$ 时可以通过 $(7)$ 式计算 { c n } \{c_n\} {cn​}

上面是从代数推导的角度看待等同性，下面我们通过波的叠加来看待 { c n } \{c_n\} {cn​} 对 $f(t)$ 的表示。此处为了方便理解，暂且将一对 $(e^{i\frac{2n\pi t}{T}},e^{-i\frac{2n\pi t}{T}})$ 看做一个周期为 $\frac{T}{n}$ 的波，要确定这个波的具体形态，还需要振幅 $A_n$ 和初相 ${\phi }_n$ 两个要素，这两个要素可以由 { c n , c − n } \{c_n,c_{-n}\} {cn​,c−n​} 计算得到。先说结论（注意到 $c_n$ 是复数，且 $c_n$ 与 $c_{-n}$ 共轭，即模长相等，关于实轴对称）

• 振幅 $A_n$ 等于 $c_n$ 的模长的两倍
• $c_{-n}$ 对应复平面上一个点，这个点偏离实轴的角度就是初相 $\frac{\pi }{2}-{\phi }_n$

证明之前将 $(2)$ 式列在这里

$$\begin{array}{rl}{A}_n& \sin (nwt+{\phi }_n)=a_n\cos (nwt)+b_n\sin (nwt)\\ & a_n=A_n\sin {\phi }_n{b}_n=A_n\cos {\phi }_n\end{array}\text{\hspace{1em}(2)(8)}$$

振幅的证明

• 由 $(5)$ 式可知， $c_n$ 的模长为 $\frac{\sqrt{a_n^2+b_n^2}}{2}$
• 由 $(8)$ 式可知， $A_n^2=a_n^2+b_n^2$

初相的证明

• $c_{-n}=\frac{a_n+i{b}_n}{2}$ ，偏离实轴角度 $\theta$ 有 $\tan \theta =\frac{b_n}{a_n}$
• 由 $(8)$ 式可知 $\tan {\phi }_n=\frac{a_n}{b_n}$

这里证明可能不够严谨，下一节可以看到更合适的解释。这里只是想大概建立起 $c_n$ 与振幅初相之间的关系，这样就可以通过复数形式的傅里叶级数确定一系列正弦波，这些正弦波的叠加就是原函数。

傅里叶级数与圆周运动

正弦波 $f(t)=\sin t$ 可以看做，圆周运动随着时间的流逝，记录下纵轴的值；多个正弦波的叠加则可以看做大圆套小圆转动，如下图所示，图片来自 wiki，此外还有一个类似的动图.

同样的信息，在时域上表现为右侧的周期函数，在频域上表现为左侧固定的圆周运动。

• 在圆周运动中，初相对应初始点，频率对应转动的速度，振幅对应圆的大小。我们只要确定了这三个要素，就可以勾勒出时域中的图像，这是频域向时域的转化。
• 时域向频域转化，就好像对一个复杂的 $f(t)$ ，你很难预计下一个时间它会如何变动，但如果告诉你它是由一些确定的圆套在一起运动而形成的，就感觉触及到了本质，事情变得可控。在时域中难以做到的事情，可能在频域中非常简单，这也是傅里叶级数展开的意义所在。

我们经常看到画频谱图的，其实就是振幅-频率图；相位图就是初相-频率图。

上面介绍了 $A_n\sin (nwt+{\phi }_n)$ 这种形式的波如何通过圆周运动勾勒出 $f(t)$ ，下面我们要基于复数形式的傅里叶级数来勾勒 $f(t)$ 。首先从欧拉公式说起

$$e^{it}=\cos t+i\sin t$$

将 $e^{it}$ 的值看做在复平面上描点，横轴是实数轴，坐标为 $\cos t$ ；纵轴是虚数轴，坐标为 $\sin t$ 。则随着时间 $t$ 的增大，描点轨迹就是在做逆时针圆周运动，而 $e^{-it}$ 则是在做顺时针圆周运动。把 $(4)$ 式搬过来

$$f(t)=c_0+\sum _{n=1}^{\infty }\left[c_n{e}^{i\frac{2\pi nt}{T}}+c_{-n}{e}^{-i\frac{2\pi nt}{T}}\right]$$

对每个 $n$ 来说，两部分在复平面上做圆周运动， $c_n$ 是个复数可以画在复平面内，则 $c_n{e}^{i\frac{2\pi nt}{T}}+c_{-n}{e}^{-i\frac{2\pi nt}{T}}$ 表示

• 一个点初始在 $c_n$ 处，逆时针做圆周运动，角速度是 $\omega =\frac{2\pi n}{T}$ ，半径为 $c_n$ 的模长
• 另一个点初始在 $c_{-n}$ 处，顺时针做圆周运动，角速度是 $\omega =\frac{2\pi n}{T}$ ，半径为 $c_{-n}$ 的模长
• 两个点的圆周运动，看做向量（圆心与点连接）的转动，二者的加和就是向量的加和， $f(t)$ 就是加和后的向量随时间变化

考虑到 $c_n$ 与 $c_{-n}$ 共轭，因此模长相等，即它们运动半径相同；初始位置关于实轴对称，又做反方向运动，因此二者的加和会将虚数部分抵消，所以加和后的向量可以用一个实数表示。实数部分其实就是考虑 $\cos$ ，因此圆周运动过程中，记录下余弦值，画出余弦值与时间的关系，就得到了一个波。这里与上一节对应一下

• 因为是两个点的运动过程叠加，所以该频率下的振幅是模长的2倍
• 因为这里记录的是 $\cos$ ，所以与上文使用的 $\sin$ 相位有个加和为 $\frac{\pi }{2}$ 的关系

每个 $n$ 可以得到一个波，叠加后可得到 $f(t)$ 。或者这样做：每个 $n$ 下都有2个点，分别用向量表示，所有 $2n$ 个向量相加；每个时间 $t$ 下相加得到的总是一个在实轴上的向量，记录下这个向量的值就能勾勒出 $f(t)$ 的曲线。向量相加的过程就像下面这张图，图片来自 wiki.，这张图中两个向量频率相同，频率不同的动图可以见马同学.

其实仔细想一想，向量相加和大圆套小圆的过程其实是一样的，二者分别对应傅里叶级数复数形式与实数形式的圆周运动解释。

其实大圆套小圆不仅可以画波，而且可以画出许多复杂的图像，比如画辛普森。画波与画图像的区别在于，波是时间的函数，一个时间对应一个值；而图像是一个时间对应一个二维坐标，将画纸看做复平面的话，图像也可以是时间的函数，只不过函数值是复数，由实部和虚部两部分构成；更进一步，波其实是虚部为0，如果看做点在复平面内的运动，就是在实数轴上来回摆动，我们只是加了一个时间轴，它画出的结果才是波的形式。因此，任意给定一个图形，如何计算它是由什么样的圆、如何运动绘制而成呢？只要取一些点，写出 $f(t)$ 的形式，然后用公式 $(7)$ 计算 $c_n$ ，再转化为相位和振幅即可； $f(t)$ 是一个周期函数，或者是一个定义在有限区间的非周期函数。用套圆画图可以在这个网站.中体验，你绘制一个图形，它会自动为你转化为大圆套小圆的形式。

• An Interactive Introduction to Fourier Transforms
  https://www.jezzamon.com/fourier/index.html

傅里叶变换

非周期函数

非周期函数可以看做周期为无穷大的函数，下面我们考虑傅里叶级数周期增大，直至无穷会发生什么。

首先回顾周期函数的傅里叶级数展开

$$f(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{c}_n{e}^{i\frac{2n\pi x}{T}}\text{\hspace{1em}(6)}$$

$$c_n=\frac{1}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-i\frac{2n\pi t}{T}}\mathrm{d}t,n=0,\pm 1,\pm 2,\cdots \text{\hspace{1em}(7)}$$

式 $(6)$ 是时域下的表示，式 $(7)$ 是频域下的表示，傅里叶级数分解是时域向频域的转化；频域中以频率为自变量，此时频率取离散值， $\frac{n}{T},n=0,1,2,\cdots$ 。可以看到，随着周期 $T$ 的增大，频率的取值逐渐密集，可以想象，当周期趋近于无穷，频率将取连续值，此时式 $(6)$ 将不再是求和而是积分，这就是非周期函数的情形。将非周期函数时域向频域的转化，就对应傅里叶变换，下面我们写出傅里叶变换相关公式

傅里叶逆变换：
$$f(x)={\int }_{-\infty }^{\infty }F(w)e^{iwx}dw\text{\hspace{1em}(9)}$$

傅里叶变换：
$$F(w)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-iwt}dt\text{\hspace{1em}(10)}$$

注意如下几点

1. 公式形式

• 这里频域中自变量 $w$ 是角频率，使用频率也可以，只不过公式会稍微有一点常数上的差异，如下所示

  傅里叶逆变换：
  $$f(x)={\int }_{-\infty }^{\infty }F(v)e^{i2\pi vx}dv\text{\hspace{1em}(11)}$$

  傅里叶变换：
  $$F(v)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i2\pi vt}dt\text{\hspace{1em}(12)}$$

• 有一些版本的常数会和这里有些出入，如下所示

  傅里叶逆变换：
  $$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{\infty }F(w)e^{iwx}dw$$

  傅里叶变换：
  $$F(w)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-iwt}dt$$

对比后会发现如果给定 $f(t)$ ，按照上面不同公式进行傅里叶变换， $F(w)$ 的结果不一致，差一个常数项；这不影响本质，因为傅里叶变换与逆变换公式是成对出现的，变换后如果想通过逆变换还原原来的 $f(t)$ ，必须使用相应的逆变换形式。

1. 离散与连续

从频域图像的角度，非周期函数的频域图像，并不是将周期函数的图像不断密集取点，最后变成连续。从公式来说，式 $(10)$ 并不是由式 $(7)$ 简单取极限就可以得到。周期函数对应离散谱，非周期函数对应连续谱，二者有本质的区别。这有点像离散随机变量的概率分布，与连续随机变量密度函数的区别。离散谱取离散值，看柱子高度；而连续谱取连续值，看区域面积，而对于每个具体的点，面积都是0。

下面举一个例子，将矩形波从周期变换到非周期，对比公式直接取极限，与傅里叶变换之间的区别。

先以简单的方波为例， $f(x)$ 周期为 $T$ ，一个周期内的函数形式如下所示

$$f(x)=\{\begin{array}{cl}1,& -\frac{T}{4}\le x\le \frac{T}{4}\\ 0,& \frac{T}{4}<x\le \frac{3T}{4}\end{array}$$

由式 $(7)$ 可以计算出

$$c_n=\frac{1}{2}\frac{\sin (n\pi /2)}{n\pi /2}$$

由于 $f(x)$ 是偶函数，所以 $c_n$ 的虚部为0。下面我们要将周期增大到无穷，注意，如果我们直接令 $T\to \infty$ ，可以看到 $c_n$ 的结果并没有发生改变，因为这样增大周期结果还是一个方波，一直都还是周期函数；方波就是一个周期中取 $1$ 的部分占比为 $50\%$ 。我们增加周期要只增加 $0$ 的部分，这样不断增加下去的结果是，只有 $[-\frac{T}{4},\frac{T}{4}]$ 区间内取值为 $1$ ，其他区间为 $0$ ，这就是一个非周期函数。一个周期为 $kT$ 的函数定义如下
$f(x)=\{\begin{array}{cl}1,& -\frac{T}{4}\le x\le \frac{T}{4}\\ 0,& \frac{T}{4}<x\le \frac{3T}{4}+(k-1)T\end{array}$

由式 $(7)$ 可以计算出

$$c_n=\frac{1}{2k}\frac{\sin (\frac{n\pi }{2k})}{\frac{n\pi }{2k}}=\frac{1}{2k}\mathrm{sinc}(\frac{n}{2k})$$

已知 $x\to 0$ 时， $\mathrm{sinc}(x)\to 1$ ，因此随着 $k$ 的不断增大，柱子高度整体是逐渐减小的，当 $k\to \infty$ ，柱子高度将趋近于 0。下面这张图展示了随着周期不断增大， $c_n$ 随频率变化的图像

这种趋于 0 的效果，就像离散随机变量，随着定义域的扩大，可取的点原来越多，但每个点的取到的概率也会越来越小，取值为连续区间时，具体每个点的概率都为 0；此时衡量单个点的概率就没有意义了，需要衡量的是区间的概率，画图也不画概率分布图了，而是画概率密度图。上面的离散谱（又称线谱）与概率分布类似，而傅里叶变换对应的连续谱（又称密度频谱）与概率密度类似。

对于只有 $[-\frac{T}{4},\frac{T}{4}]$ 区间内取值为 $1$ ，其他区间为 $0$ 的非周期函数，我们可以由式 $(12)$ 推导出频域下的密度表达

$$F(v)=\frac{T}{2}\mathrm{sinc}(\frac{vT}{2})$$

傅里叶变换后的结果一般是虚数，这里因为 $f(x)$ 是偶函数，所以虚部为0。

1. 由傅里叶级数到傅里叶变换的推导

从式 $(6,7)$ 出发，将 $c_n$ 形式带入式 $(6)$ ，对周期取极限得

$$\begin{array}{rl}f(x)& =\underset{T\to \infty }{\lim }\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left[\frac{1}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-i\frac{2n\pi t}{T}}\mathrm{d}t\right]e^{i\frac{2n\pi x}{T}}\\ & =\underset{T\to \infty }{\lim }\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left[\frac{1}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{i\frac{2n\pi }{T}(x-t)}\mathrm{d}t\right]\end{array}$$

令 $w_n=\frac{2n\pi }{T}$ ，则 $\Delta w=w_n-w_{n-1}=\frac{2\pi }{T}$

$$\begin{array}{rl}f(x)& =\underset{T\to \infty }{\lim }\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left[\frac{1}{2\pi }\Delta w{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{i{w}_n(x-t)}\mathrm{d}t\right]\\ & =\underset{T\to \infty }{\lim }\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left[\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }f(t)e^{i{w}_n(x-t)}\mathrm{d}t\right]\Delta w\end{array}$$

当 $T\to \infty$ ， $\Delta w\to 0$ ，所以有

$$\begin{array}{rl}f(x)& ={\int }_{-\infty }^{\infty }\left[\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }f(t)e^{iw(x-t)}\mathrm{d}t\right]\mathrm{d}w\\ & ={\int }_{-\infty }^{\infty }\left[\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-iwt}\mathrm{d}t\right]e^{iwx}\mathrm{d}w\end{array}$$

令 $F(w)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-iwt}\mathrm{d}t$，则有

$$f(x)={\int }_{-\infty }^{\infty }F(w)e^{iwx}\mathrm{d}w$$

周期函数

将傅里叶变换扩展到周期函数，则统一了周期函数与非周期函数的变换方式，之后傅里叶变换的性质可以对任意函数都成立。周期函数的频谱是离散的，只在特定的一些频率点不为0；而傅里叶变换是在求频谱密度，关注的是面积；所以需要定义一个冲激函数 $\delta (x)$ ，定义如下

$$\begin{gathered} \delta (x)=0,t\ne 0 \\ {\int }_{-\infty }^{\infty }\delta (x)\mathrm{d}x=1 \end{gathered}$$

周期函数的傅里叶变换就是多个冲激函数的加和（其实就是将离散的位置变成冲激函数）。公式如下所示，其中 $f(x)$ 是一个周期函数

$$F(v)=\sum _{-\infty }^{\infty }{c}_n\delta (v-n{v}_0)$$

其中 $c_n=\frac{1}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-i2n\pi v_{0}t}\mathrm{d}t,n=0,\pm 1,\pm 2,\cdots$ ， $v_0=\frac{1}{T}$ 。

上面公式的推导只是将式 $(6)$ 带入式 $(12)$ ，然后利用冲激函数的一个计算性质

$${\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-i2\pi t(v-n{v}_0)}\mathrm{d}t=\delta (v-n{v}_0)$$

因为这个式子相当于对 $f(t)=e^{i2n\pi v_{0}t}$ 做傅里叶变换，这是个周期函数，它的傅里叶级数展开就是在离散的 $n{v}_0$ 处有 $c_n=1$ ，用冲激函数表达相同的含义就如右式。所有周期函数用傅里叶级数展开都可以表示成 $f(t)=e^{i2n\pi v_{0}t}$ 的加和，因此傅里叶变换都就是冲激函数的加和。

冲激函数的另一性质：任何函数与冲激函数做卷积，得到本身

$$f(t)\ast \delta (t)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(\tau )\delta (t-\tau )d\tau =f(t)$$

因为 $\delta (t-\tau )$ 只有在 $\tau =t$ 时不为 0，所以

$$\begin{array}{rl}f(t)\ast \delta (t)& ={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(\tau )\delta (t-\tau )d\tau \\ & =f(t){\int }_{-\infty }^{+\infty }\delta (t-\tau )d\tau \\ & =f(t)\end{array}$$

傅里叶变换的性质、离散傅里叶、应用、参考资料请见下一篇。

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Ref

 
本文第二篇

• 傅里叶级数 | 傅里叶变换（二）-优快云博客
  https://blog.youkuaiyun.com/u013669912/article/details/146057103

本文原文

• 傅里叶级数与傅里叶变换（一） | Dwzb’s Blog
  https://wzbtech.com/tech/fourier1.html