廖海仁 | 一位物理背景算法工程师的数学心路

注：本文为廖海仁 “数学心路” 系列文章合辑。
略作重排。

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一位物理背景算法工程师的数学心路｜学习之路大学前

原创 廖海仁 求是思维 2024 年 07 月 25 日 08:03 北京

前几个月见到求是思维的冯老师，相谈甚欢。我虽然研究生毕业后曾有过从事教育行业的梦想，但只尝试了短短几个月，之后一直专注于专业领域的深耕。

0-0 作者简介

图片出自本文作者廖海仁参加中国大数据技术大会时记者拍下的照片

廖海仁 —— 本科毕业于清华大学物理系，并获得北京大学空间物理学硕士学位。他因翻译《概率论沉思录》一书而知名，该书由著名数学物理学家埃德温・汤普森・杰恩斯所著，是数学和科学哲学领域具有重要影响力的作品。廖海仁的翻译工作使得这本书的中文版得以出版，为中文读者提供了接触这一重要著作的机会。

第一部分

0-1 引子

冯老师自 2012 年创办求是思维以来，已经坚持了十多年，且影响力颇大，这是我非常佩服的。有想法或梦想很容易，但真正去践行并坚持下来却很难。当了解到求是思维的主要学生群体是小学生时，我表示难以理解小学生对数学的理解水平。

如果是我，我可能会选择教授大学生甚至职场人员深入学习数学基础课程：微积分、线性代数、概率论等。

年初震惊互联网的 Sora AI 生成视频

在完成物理本科和研究生学业后，我转行从事数据挖掘和机器学习算法的研发工作。至今 16 年过去，这一行业已经变得非常火热，并有了一个更为时尚且几乎家喻户晓的名字：人工智能。

人工智能最直接的基础课程是机器学习，而机器学习的数学基础则包括微积分、线性代数以及最重要的概率统计。遗憾的是，我看到现在很多人工智能相关专业的学生毕业时，通常只是掌握了目前时髦的深度学习的一些调包使用技能，对于基础的机器学习掌握很浅，更不用说更为基础的概率统计等数学部分了。几天后，我转给冯老师一篇公众号文章：搞 AI，孩子必须学好数学！马斯克 Altman 罕见达成一致

LeCun/Jeff Dean 等 31 位大佬签署联名信

冯老师的评价是即使不搞 AI，数学也很重要，并问我是否能推荐一下我说的作为 AI 基础的微积分、线性代数和概率论相关教材。我说可能需要写一篇小文章来说明一下这件事。后来发觉一篇小文章还不能解决问题，所以才有了这篇不太短的文章。

了解我的朋友可能知道，我自己过去几年除了工作外，主要是翻译了一本叫 《概率论沉思录》 的数学著作。对于这本英文原文有 750 多页的厚书，我的翻译工作从 2019 年 6 月份开始，历时大约 3 年。

国内概率论教材天花板 豆瓣读书 9.4 分

随后，出版社的编辑们又进行了长达两年的编辑校对工作，刚刚才由人民邮电出版社作为图灵数学经典的第 15 本正式出版。一个物理专业毕业，现在又从事机器学习算法研发工作的人，为什么会花几年时间来翻译这样一本数学书呢？

0-2 正文的部分

所以我这篇文章的内容主要包括三个部分：

第一部分，是回顾我作为一名数学爱好者学习数学的心路历程。 这包括大学之前、大学与研究生期间以及工作之后三个阶段。相信读者在了解我的数学情缘之后，会明白我翻译这本数学书并非不务正业，而是情非得已。

在第二部分中，我想阐述我个人对于数学学习的一些思考。 就纯粹的知识层面而言，ChatGPT 可能已经有了相当出色的表现。然而，学习的主体是人。只有亲身经历学习过程的人，才能深刻体会到其中的艰辛与挑战，并逐渐摸索出适合自己的学习方法并获得真正的理解。同时，有些学习方法和规律很可能也适用于其他几乎所有的人类学习者。

第三部分才是微积分、线性代数和概率论相关书籍推荐。

推荐书籍其实是我经常会避而不谈的事情。由于每个人的兴趣爱好、基础和阅读目的都各不相同，加之如今各种图书数量繁多，何止汗牛充栋，其实很难做出一般性的推荐。

不过，值得庆幸的是，这里的书籍推荐仅限于作为高等数学基础范畴内的微积分、线性代数和概率论。尽管如此，我认为这些推荐主要适合那些像我一样，以数学应用及欣赏数学之美为目标的学习者作为参考。

1-0 我的数学之路

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本图由 AI 生成

首先还是需要谈谈自己在大学之前的数学学习，不是为了显示自己有多么天资卓越，而是为了说明一名数学爱好者在应试教育大背景下的数学学习历程，以及现在看来的是非得失。

1-1 学前潜移默化受到的数学教育

 

小平邦彦《惰者集》，一部思想随笔文集

据日本数学家小平邦彦的说法，这个世界上大约有 60% 的学生对于数学是有感觉的（需要确认引用是否确切，参见小平邦彦《惰者集》）

可能有些人天生没有数感。我想我应该是属于那 60% 对于数学有点感觉的学生。我家在一个四面环山的小山村里，当时是镇上一个重要的煤矿所在地。那时候没有奥数班，我却在煤矿高处通过数来来往往的运煤车学会了基础的加减法（父亲教我来一辆车 + 1，走一辆车 - 1）。

据父亲说，我在三岁时已经对于一百以内的加减法非常精熟。那时候也没有幼儿园，小学的入学标准是能从 1 数到 100。我四岁过一点就被当小学教师的爸爸带去他所在的学校给其他老师考核。我快速从 1 数到了 100，这样本来就有资格上小学一年级了。但是旁边一位老师跟我开了一个过分的玩笑，我感觉受到了羞辱，开始激烈地反驳她。因此我爸爸的这位同事就对我爸爸说，“廖老师，您的小孩实在是太小了，还是等到他大一点再上学吧！” 这样我就又等了一年，等到我五岁多的时候正式上了小学。

1-2 小学与初中时

小学时我初窥到了奥数的端倪

初中时一位良师为我打开了自由探索数学世界的窗户

即使如此，现在想来，过小的年龄加上敏感性格的组合也给我后来的学习生活带来很多曲折和不确定性的因素，只记得我开始很不喜欢上学，前几年经常逃学去疯玩。由于这方面与本文主题无关，也就不再赘述。

小学当时数学和语文在现在看来应该是极其简单，所以我对于小学学习整体上没有太多印象，只记得数学基本是满分。但是我觉得当时至少应该有 10% 的学生应该也都是满分，所以没觉得自己有什么特别的。

直到小学五年级的时候，我曾代表学校去县城参加数学竞赛。具体竞赛成绩已经不记得了。还能记得的是，最后举办了一个现场互动抢答的环节。老师问：有 5 个数之和是 40，这 5 个数是什么？我第一个高高举起了手，正确给出了答案。由此可见那时候所谓 “奥数” 的基本水平。

进了初中，数学应该比小学难了很多。初一有位姓卫的数学老师给我印象很深，因为他的教学方法与众不同。首先，我们用的不是大家普遍使用的标准教材。他给我们发了自己购买的一种新型的实验型教材。这一教材的特点是以自学和自己探索为主，哪怕是最重要的定理也是通过引导内容由学生自己探索得到。

自主探索型课程中的经典案例便是勾股定理

书中的正文中都有许多空，需要学生自己去填充。所以卫老师讲课时，前面都是由我们通过这个特别的教材自学，最后 10 分钟他才开始讲课。前 5 分钟还是复习上节课的内容，最后 5 分钟才过渡到新学习的内容。

他还有一个特点是不批改作业。每次课代表会将我们做的数学作业收上去，但是上课时他会将我们的作业原封不动地搬回来。他会随机给我们每人发一本作业，并且说如果自己被分到了自己的作业，需要跟别人交换。然后他就在上面讲习题答案，由我们自己给同学判习题并打分。我至今都觉得这种教学方式和判作业的方式都是极大的创新，不知道为什么没有被普及开来。反正我非常喜欢卫老师的这种教学方法，也非常习惯于这种以自学为主的学习方式，所以数学成绩一直不错。

卫老师后来也不再教我们，初二初三我们换了老师，也换回了标准的数学教材。由于原来那本探索性教材的影响，就算换回了标准教材，我也会在预习看例题时尝试先蒙住解答部分自己去尝试得到答案。

集趣味与数学知识为一体的儿童数学期刊，是激起学生数学的爱好的好读物

对于数学，我的兴趣一直比较浓，自己会到书店去淘一些类似《趣味数学》的书看。初二和初三我到县里参加数学竞赛，都得了奖。第二次还被选拔去参加市级的比赛。

中考前几个月，我大约有两个月都在准备这个数学竞赛，当时学校也没有什么竞赛培训班，我自己通过在新华书店买的中科大单墫老师写的奥赛教材自学。不过老实说，我有些地方还是不能深入理解，而且两个月的时间也不可能把那几本书都学完。所以最后去参加的市里的竞赛也没有获得什么成绩，这还曾经让我感到很失落。接下来就继续准备中考。

单墫教授在数学领域的初等数论、解析数论和组合数学研究方面取得了一些国际先进水平的成果

发表了 30 多篇具有较高水平的学术研究论文。

记得中考时我的数学考得不算满意，130 的满分考了 123 分，最后一道 10 分最难的证明题我没有完全证出来。事后我发觉原因是我试图去证明 “两个三角形对应的两角及其夹边相等，两个三角形全等” 这个 “定理”，但是其实这在书中是个 “公理”。或者说我对于这个 “公理” 的可靠性不觉得有保证，所以不敢继续往前走。

尽管如此，由于其他科目的成绩，特别是语文与英语的成绩，我仍然以县状元的身份考入了县一中。

1-3 高中时与备战高考 一位好老师与兴趣的重要性

高一时自己的成绩曾经不达预期，一度滑落到十名开外。除了要自己摆脱 “中考状元” 的心理负担外，我想还有一个重要原因是我的数学成绩下滑了。我很不喜欢高一时的数学老师：觉得他讲课基本是照着书念，也没有太大激情。这伴随而来的是自己数学成绩的下滑。我成绩最差的时候 120 分的试卷我只能拿到八九十分。

幸运的是，高二下学期文理重新分班时，我换到了一个新的班级，也换了一个新的数学老师蓝礼敬老师。他是省级特级教师，讲课时总是充满兴趣和激情，像讲故事一样讲数学。我也开始听得津津有味，换班后的第一次考试，我数学就考到了 110 分以上，而且是新班级的数学第一。

另外，我记得有一次我拿一本教辅材料上我有疑惑的习题答案之处去问蓝老师，他很快说是那个答案有问题。高二下也去参加过一次数学竞赛，拿的是市级二等奖。尽管我自己不太满意，蓝老师却认为已经挺好的了。在数学成绩极大提升的加持下，我的总体排名也有了提升，高二下学期期末还破天荒又拿回了一次全校第一。

我有时候跟妻子开玩笑说，她数学不好，高考数学不及格，也许不是她对数学不开窍，而是从来没有碰到一位激发她数学兴趣的好老师。高考之前虽然也被迫跟其他同学一样刷题，但是我实在不喜欢重复做一些很简单的题目。

《数学通讯》上半月刊和下半月刊主要设置 4 个大的栏目，包括辅教导学、专论荟萃、复习参考、课外园地

我订了《数学通讯》杂志，在高考前几天主要是看里面的一些文章，尝试里面的一些难题。高考时我数学 150 分考了 145，尽管也不是最高的（我们班有个同学考了满分 150，但是却报了同济大学学医），但是也足够帮助我考上自己理想的大学。

自主探索数学的趣闻一则：

高中阶段还记得的一件事。有一位校外的演讲者到学校里做演讲，主题是 “学好数理化，走遍天下都不怕”。演讲的过程中演讲人主要是做了两个 “数学魔术”：一个是卡片猜数，另一个是将一手扑克牌隔一张翻一张，出来全部是顺序的。然后以此为基础说明数理化的重要性。他现场并没有对这两个魔术做任何揭秘，我们原来也不知道这两个游戏。我记得演讲结束后，我跟另外一名同样爱好物理的同学就急不可耐地想知道那两个魔术背后的原理，并且很快将其破解了出来。

我跟这位同学由于共同爱好物理，关系一直很好。重新分班后，他曾担任另一个班的班长。高中时，他曾经送给我一本《数学手册》。这本书很长时间一直伴随着我。

我一直珍藏着的高中同学送我的一本《数学手册》

记得我还在里面写了句 “数学乃科学之皇后”。关于物理、数学与科学的关系，我至今还抱着这种观点，“物理学是科学之王，而数学则是科学的皇后”。另外同样的一句可能是大学里写的。上大学后这本《数学手册》一直伴随着我。而且我比较感慨的是大学之前所学的所有数学只占这本 900 页的数学手册的不到前 100 页的内容，所以大部分的数学是大学之后学习的。

1-4 第一章的结语

还有就是记得高三在学微积分的时候，我对于圆内接多边形的面积极限是圆面积这件事一直觉得难以理解：无论如何逼近，内接多边形也不会变成圆。这个极限等于圆面积究竟有什么意思呢？${\lim }_{x\to \infty }\frac{1}{2^n}=0$ 这个是什么意思呢？我一直觉得不能理解。

微积分中极限的概念

回顾整个大学之前的数学学习历程，我深感庆幸的是，碰到过激发自己学习兴趣的数学老师，在应试方面取得了还算不错的成绩。然而，遗憾的是，在那个时候，我没有机缘接触到世界级的数学名著，即使是科普级别的名著也基本没有看过。

1-5 最后放上一些廖老师关于 微积分与数学分析相关的绝顶好书列表推荐！

深度数学爱好者们请放心入手～

四本著名教材：

• 小平邦彦.《微积分入门》.人民邮电出版社 (1.8)

  > 推荐语：小平邦彦是日本数学家，菲尔兹奖和沃尔夫奖得主，本书是作者晚年创作的经典微积分著作，其特点在于突出 “严密” 与 “直观” 的结合，并重视数学中的 “和谐” 与 “美感”。

• R. 柯朗，F. 约翰. 《微积分和数学分析引论》. 科学出版社（2.0）

  > 推荐语：共两卷四分册。如果是物理方向的学生，这套微积分与数学分析教材是我最为推荐的一套，因为诸如第四章 “在物理和几何中的应用” 这样的章节在其他教科书中是很少出现的。本书特别强调概念的直观与明晰，在涉及到理解的细微之处绝不含糊，却不重无关大体的完备。本书采取研讨式而不是中国教科书演绎式的介绍方式。本书虽然很厚，但是绝对干货满满。

• G.H. Hardy.《纯数学教程》 人民邮电出版社（2.5）

  > 推荐语：百年经典，20 世纪初数学分析领域的奠基性著作。虽然作者哈代于 1947 年已经去世，但是这本书到现在也完全不过时，这就是数学的魅力。

• 陶哲轩. 《陶哲轩实分析》. 人民邮电出版社 (2.5)

  > 推荐语：《陶哲轩实分析》是一本强调严格性和基础性的实分析教材，其内容涵盖了从数系的结构和集合论到 Lebesgue 积分的全面知识。书中的习题与正文内容紧密相关，有助于读者更好地理解和掌握知识。适合于学过基础微积分的人进一步深入学习实分析。

以下这本是推荐必看的重要参考书：

• 辛钦著，齐友民译.《数学分析八讲》. 人民邮电出版社（2.0）

  > 推荐语：辛钦是前苏联数学家和数学教育家，是现代概率论的奠基人之一。本书通过八个小讲座分别讲解连续统、极限、函数、级数、导数、积分、函数的级数展开和微分方程等八个方面，能加深我们对这些基本概念的理解。

以下这两本是微积分历史科普书，可以帮助理解基本概念：

• William Dunham 著。李伯友等译.《微积分的历程 —— 从牛顿到勒贝格》. 人民邮电出版社 （1.0）

• 卡尔.B. 波耶著，唐生译.《微积分概念发展史》. 复旦大学出版社 （1.0）

第二部分

2-1 大学阶段

大学 我第一志愿报的是应用物理，第二志愿是应用数学。因为我觉得自己最喜欢的还是物理，其次是数学。大学数学学习按部就班，我们作为物理系学生其实也没有学习数学分析，而是高等数学。教我们高等数学的老师是编写清华《高等数学》教材的施学瑜教授。这大概也是物理系所能得到的数学上的优待了吧。 当时我们已经知道有北京大学张筑生教授编的三册版《数学分析新讲》，有的同学应该拿这套书做参考。

北大张教授编写的数学分析新讲第三册 重视培养启发学生的数学能力

不过，对我最有影响的还不是这个，而是 R. 柯朗的 《数学是什么》和《微积分和数学分析教程》 (这两本书的第二作者分别是 H. 罗宾和 F. 约翰)。当然看这两本都是正常的数学学习之外，也是在大三之后。 我先在图书馆里发现了《数学是什么》这本书，就兴致勃勃地将其看完，也感觉到很受益。我对于极限概念的真正理解就是通过阅读这本书得到的。

运用到极限概念的积分图与公式

记得大二时我还跟从自动化系毅然转到物理系的檀时钠同学讨论极限的概念。他说了一大通，我知道他是已经懂了，但是我当时还不懂。若谈天赋，我觉得他在数学和物理上应该属于真有天赋者。据说我们班有好些同学自从他过来后决定不再学习物理，因为肯定学不过他。他后来获得了美国物理斯隆奖，现在是北京大学物理学院的教授。

但我这种数学后知后觉也通过持续的思考和阅读 《数学是什么》 获取到对数学 “极限” 概念一直追求的 “理解”：核心是无穷大并不是一个实在确定的数，极限是一个满足极限定义的过程。

有关无穷大的最知名概念是由德国数学家格奥尔格・康托尔提出的康托尔定理

然后我又找到了同一作者写的 《微积分与数学分析导论》。这是共有两卷，每卷各有二分册的数学教程。我从第一卷第一分册开始看起，开始还是觉得有点难，但是其深刻性吸引着我。我也会去一道道去做教程后面的习题，也觉得很受益。

这后面的习题没有一道是只套用公式就可以简单解决的，每做完一道都会觉得有收益。这套书比较吸引我的地方还在于作者强调 “阐明数学分析与其各种应用之间的相互作用，并强调感性认识的意义” 的基本态度。

大学期间对自己影响最大的两本数学书：《数学是什么》和《微积分和数学分析引论》。《数学是什么》现在有了新的译本，我特地从孔夫子旧书网上淘了这个我原来看的版本作为纪念。

作者在《序言》中说：

“数学，作为一种自封的，一环接一环的真理系统，而不涉及其起因和目的，也是有其诱惑力的，并且还能满足某种哲学上的需要。但是，这种在学科本身中做内省的态度和方法，对于那些获得独立的智能而不是训条式的教导的学生们是不适宜的；不顾及应用和直观，将导致数学的孤立和衰退，因此，使学生和教师们不受这种自我欣赏的纯碎主义的影响，看来是非常重要的。”

我对于这种态度感到非常认同。遗憾的是，我到临毕业时也只是差不多看完了第一卷第一分册。临毕业时我发觉图书馆里有这套书习题解答的书，还将其中一些以及第一卷第二分册的教材都复印了，希望工作以后能继续看。

除了这两本书外，我还看了一些数学科普及数学史的书，比如克莱因的**《数学：确定性的丧失》及《古今数学思想》等，也感觉很受益。《古今数学思想》**当时没有完全看完，但是后来学习相应的数学内容时我会补看相关部分。这套书我认为是目前为止我能找到的最好的数学史教材。遗憾的是，其中并不包含对于当代科技影响很大的随机数学（概率论与随机过程）部分。

知名数学家克莱因的一大被世人所熟知的发现即为对于克莱因瓶概念的提出

一个永远的装不满的瓶子拥有与二维的莫比乌斯带相似的概念

2-2 研究生阶段

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从大学到研究生之间我又工作了三年，是后来考的研究生。前二年在一家电子公司做，其实也没有再学数学，主要是学习工作相关的单片机编程等。到第三年准备考研，我才真正接续了数学的学习。

考研虽然是应试的，但是我的目标也很明确，要借这个契机重新按着数学分析的要求来重新学习一次高等数学。 我主要使用的教材是华东师大的《数学分析》以及上面提到的《微积分和数学分析教程》，最后考研 100 分的数学考了 96，也算是为自己考上研究生立了汗马功劳。

隔壁学校是指清华大学的隔壁学校北京大学

研究生时，我对于数学的兴致越来越浓。“隔壁学校” 很多数学老师讲课非常有意思，几乎从所有的数学老师那里都能感受到他们对数学的强大兴趣。我旁听了**《微分几何》《实变函数》《拓扑学》等课程，基本是跟着数学系同学一起上课，以至于有个数学系的学生以为我是他们专业的。当他得知我是空间物理专业的学生后吃了一惊。 其实我学《微分几何》是为了学习和理解《广义相对论》**的需要，其他更多是出于对数学本身的兴趣。

不过还记得我在微分几何课当我听到老师说刚体运动是一个数学上的平移旋转变换群时的震撼。 作为物理系的毕业生我自认为理解什么是刚体运动，直到此时我才觉得原来对于刚体运动的理解还是很浅显，只有换到这个视角才是真正理解了刚体运动。拓扑学课上老师讲如何用两个球体粘合成一个四维空间的讲解也很有意思，非常符合我认为自己花了很长时间才想通的宇宙形状的直觉。

当时我对概率论也有一定兴趣。原因是我们研究生同学一起坐火车去上海开行业会议，有多个人玩杀人游戏，有位女同学连续二次抓到的牌是杀手，成功地当了二次职业杀手。第三次大家重新玩，几个人无辜被杀。大家又怀疑起她。她为自己辩护道，上两次我是杀手，这次我又是杀手的概率是很小的。

狼人杀是一款适合多人聚会玩的策略性游戏

而别人则说，每一次都是重新开始的，你当凶手与我们可能是凶手的概率是相同的。我好奇从概率论的角度，我这位女同学对自己的辩护是否有道理。 我自己找了本概率教材来自学，也做了些笔记，但是并没有完全学完。 反而是对于线性代数，研一那个暑假，我找来北京大学的 《高等代数》 教材，并将其完整学习了一遍。

另外听过的一些数学演讲让我记忆犹新：一次是听文兰院士的演讲。他说他想将数学从微积分开始重新学习一遍。他当时已经是院士了，应该也已经有了很大的数学成果，但是为什么还希望从微积分开始重新学习数学呢？这种学习肯定属于为己之学。这也几乎成了我自己的数学愿望：我并不以数学为业，但是基于兴趣，我也希望自己能将重要的数学课程逐渐学习一一遍。

陈省身先生是世界 20 世纪最伟大的几何数学家之一

被誉为 “整体微分几何之父”

另一次是听陈省身先生的演讲，当时陈先生已经 92 岁了，是坐着轮椅出来的，但是目光深睿。他讲的如何几何角度看待 DNA 双螺旋结构让人很震撼。（这篇网络文章大致记录了类似的陈先生演讲的内容

• 数学大师“陈省身”谈从三角形到流形_网易订阅
  https://www.163.com/dy/article/EPA2RUO20538057A.html

还有一件事让我印象深刻。有一次去人大英语角，碰到一位读力学的清华师弟，我们两个人辩论了半天，原因他说物理比数学重要，我说数学比物理重要。我很能理解他对物理的热情以及物理重要的认知。但是若论总体重要性而言，我还是认为数学更为重要一些，因为它是所有定量科学的基础。

我读高中的时代，理科数理化分数是相同的。现在数学被赋予更高的分数，物理则总体分值更低些。我的一些继续研究物理的同学还对此感到痛心疾首，他们认为这对于后续的科学研究不利。然而，我则认为将数学赋予更高权重是合理的，尽管物理学作为现代科学的典范学科，其重要性不言而喻。读完空间物理研究生才想着转行做互联网的原因一言难尽。

当时阅读的文献中已经出现了星际网络（IPN 的概念），就是不同国家的深空探测器都可以通过 IPN 传输数据。 对 IPN 的接触让我意识到互联网的出现是这个时代一件大事，自己或许应该对这个新生事物有更多了解。另一方面，可能也是不希望自己的工作过于偏理论。

民科一词的百科定义

其广大爱好者们的数量之多仅在贴吧的一个平台就有 33 万的讨论者

研究生时选了俞允强教授的《广义相对论》和《物理宇宙学》课程。但是上课时发觉旁边一起上课的可能有一半是校外的业余相对论研究者或物理学爱好者。我不想用” 民科” 一词来形容这样一个群体，因为这似乎代表了一种所谓科班出身者的傲慢与偏见。我经常为这个群体中的人对于物理和数学的热情而感慨。

理论。 据说劝退这群人继续研究物理的最好方法是告诉他们离开了数学语言，现代物理学难以为继。 但是事情往往也没有那么简单。

我曾经去过一个物理学 “独立研究者” 家里并跟他聊了一晚上。他法律博士毕业，现在已经辞职专门研究物理（前提是他北京家里的确有十套以上的房子作为经济支撑）。他研究的物理理论中也的确有一些简单的数学公式。不过我的确怀疑这些公式的来源与推导过程是否可靠。因为他曾经问我 $\frac{1}{1+x}$ 的数列展开为什么是 $1-x+x^2-x^3-x^4+x^5+\dots$ 而不是 $1-x^2-x^3-x^4\dots$。 另外，又说 “如果物质只会进入黑洞，又不会出来的话，这岂不是说黑洞里的质量不会守恒了？”

2-3 工作之后

中山站是中国在南极洲所建立的科学考察站之一

再之后是南极中山站的一年。我当时已经确定转行计算机，所以在中山站主要是以学习计算机相关内容为主，数学上主要是学习离散数学，另外还带了一本 F. 哈拉里的《图论》，也看了一部分。那时中山站也没有互联网，基本是与世隔绝的状态。这是一本我 2000 年从旧书摊淘到的书，这本《图论》从哥尼斯堡七桥问题讲起，我只觉得讲得很好。但是也不清楚作者的背景，回来后查了查互联网，才知道作者是著名的图论学者。

计算机方面 高德纳（Knuth）的《计算机程序设计艺术》 给了我很大的震撼，但在那里也只是学习了其中第一卷的部分内容。

工作时我主要从事数据挖掘和机器学习算法工作。所以我后面的学习主要跟机器学习相关。做机器学习和数据挖掘离不开数据分析，所以统计学可以说是最直接的基础。所以数学方面我补充的主要是概率论和统计学的书，概率论主要是将汪仁官教授的《概率论引论》以及复旦大学李贤平教授的《概率论基础》看完并做完了习题。

陈希孺教授为中国科学院院士

陈院士一生致力于数据统计学的研究与教育事业

概率统计方面陈希孺院士的书对我的影响比较大，我几乎买了他的所有著作：《概率论与数理统计》《数理统计学教程》《非参数统计》《高等数理统计学》等。不要以为大佬的炼成是一日之功。我淘到过一本陈希孺先生 1980 年由重庆师范学院数学印的《概率论及其应用题解》，其中凭一己之力解答了费勒两卷本经典概率论教材的所有习题，这也可见他在概率论方面用功之深。陈希孺先生的书籍也是国内不多的在其中比较详细介绍贝叶斯统计的教材。

他的《数理统计学简史》也很有助于培养 “统计思想” 统计学史著作。陈先生在本书《序》中说：“统计学不止是一种方法或技术，还含有世界观的成分 —— 它是看待世界上万事万物的一种方法，我们常讲某事从统计观点看如何如何，指的就是这个意思，但统计思想也有一个发展过程。因此，统计思想（或观点）的养成，不单需要学习一些具体的知识，还要能够从发展的眼光，把这些知识连缀成一个有机的、清晰的地图景，获得一种历史的厚重感。” 学习概率与统计的历史有助于我们更深入地理解概率的基本概念，并培养统计思想。

F. 哈拉里的《图论》及陈希孺先生的《概率论及其应用题解》

2-4 关于做题

关于做题，陈先生在《高等数理统计学》（其中有一半是习题解答）一书的序中写道：

“…多做习题，尤其是多做难题，对掌握并熟练数理统计学基本的论证方法和技巧，有着不可替代的重要性。 如果通过一门基础课的学习，只是记住了若干概念，背了几个定理，而未能在这方面有所长进，那真是‘入宝山而空返’了，技巧的熟练固非一日之功，但取法乎上，仅得乎中，必须在开始学习基础课时就设定一个高目标，日后进入研究工作，克服难点的能力如何，相当一部分就取决于在这方面修为的深浅了。同时，经验表明，在打基础的阶段因忽视习题而导致素质上的缺陷，在日后不易弥补，或事倍功半。”

“笔者在学生时代及其后的几年中，对做习题未给予足够重视。当时误认为做题费时间，不增长新知识，不如多读些书，站得实地。 以后试做研究工作，就日渐感到其不良后果，表现到碰到问题办法少，容易钻死胡同，克服难点的能力弱，以致对自己缺乏信心。对许多方法，都似雾里看花，似曾相识，而不能切实掌握和灵活运用。有如十八般兵器，样样都见过，但拿到手里，就使不动或很笨拙。欲以此克敌制胜，自难有成…”

“从‘打基础’，锻炼技巧和提高能力诸目标看，非做难题不行，这道理正如训练运动员要加大运动量，做高难动作，不然，在训练得过程中舒服了，就别指望出好成绩。 何况，对一个有志于在将来搞基础研究的人，日后在研究工作中将碰到的难点，比起这些习题，又要高出若干个数量级。如果现在面对这些习题尚且有畏难情绪，那又怎能指望在日后研究工作中能具备克服更大困难的能力和信心？”

“… 对读者而言，笔者切望这部分（习题解答）是备而不用、备而少用。如碰到一个题一时做不出来，宁肯暂时搁一搁，也不要轻易翻看解答。譬如登山，经过艰苦努力上了峰顶，只有其乐趣和成就感。反之，如在未尽全力之前就任人抬上去，则不惟无益，实足以挫折信心。”

以上均是来自陈希孺教授的引用

陈先生在此处提到数理统计学的学习方法对于学习所有数学都是适合的，其中主要提到学习数学时做习题与做难题的重要性。做难题，对于数学研究者尤其重要，因为数学研究很多就是解决别人未解决的超级难题。而对于一般的数学应用者，要求可以稍微降低。物理学家胡宁曾经说做题不用做得太多，我想学习物理与数学在做题方面的要求会有所不同吧。物理学更偏于对于基本概念的理解。

2-5 概率论的翻译

廖老师的译本在豆瓣读书中获得了高分评价

此外对我产生深刻影响的是美国数学物理学家 E.T. 杰恩斯的遗著《概率论沉思录》。2009 年 8 月，在海淀图书城的九章书店，我看到了人民邮电出版社出的这本书的英文影印版。看了一下前言觉得很吸引我，就买了下来。但是正如大多数我买的新书一样，这本书在我的书架上沉寂了四五年，直到 2015 年左右我在品友做 DSP 算法优化相关工作时，我才下定决心将其看完。

记得有将近两年时间，几乎每个周六上午，在焚香静坐之后，我都会拿一上午的时间来看这本书。看的过程中经常感到非常的喜悦。北宋程颐谈到读《论语》时说 “有读了全然无事者；有读了后其中得一两句喜者，有读了之后好之者，有读了后直不知手之舞之足之蹈之者”，在读这本书时我的确好几次体会到这种近乎手舞足蹈的感觉。

自己对一些问题有了一定的思考，却又百思不得其解，却忽然看到作者在某一章的开始对类似的问题进行描述，宣称要在这一章中对这一问题进行讨论和解决，这该让人何等的兴奋呢！可以说，阅读这本书改变了我对于概率论、统计学、数据挖掘、机器学习、人工智能甚至整个世界的认知。我读这本书是由于兴趣，但也可以说是工作实际应用的需求。

概率论作为人工智能中的基本原理 是从事相关专业必学的课程

若说学习了这种基础性的数学对我做机器学习有什么实际影响，我想借用杰恩斯本人在书中的话 “在能力与通用性方面，学会使用作为扩展逻辑的概率论的科学家比仅掌握了 一堆无关的特定工具的人具有更大的优势。随着问题复杂性的增加，这种相对优势也会扩大”。很多人搞机器学习的人只是掌握一堆工具或算法包，碰到问题就问尝试套用工具包去解决，但是在遇到无法直接套用工具包的问题就会感到不知所措。但是有了良好的概率论基础，我们就可以原初地思考问题（这些问题很多是存在本身的不确定性），并直接尝试应用概率论原理来解决问题。

本来按照我的工作相关，最最核心的基础课程是机器学习。但是概率论和统计学又是机器学习的基础。我本来计划花一二年时间将机器学习的经典三大本 PRML/MLaPP/ESL 通读一遍并做完所有习题。

但是看了杰恩斯的书之后，我还是觉得自己的概率论基础仍然需要加深。所以当我有难得的一年 “休整” 时间时，我几乎将这一年时间中科技相关的学习时间都投入到了深入学习概率论之中。这一年中，我阅读了 Seldom Ross 的《概率论基础教程》，钟开莱的《初等概率论》、格涅坚科的《概率论教程》（中文版是从孔夫子旧书网淘的人民教育出版社 1956 年的繁体版古旧老书，不过我也从 Amazon 找到并购买了该书的 1998 出版英文第 6 版也是最后一版）、迪米特里・伯特瑟卡斯、约翰・齐齐克利斯著的《概率导论》并几乎做完了其中的所有习题。

现代概率学之父柯尔莫哥洛夫

另外我也阅读了柯尔莫哥洛夫的概率数学公理化奠基之作 《概率论基础》。这是一本不到 80 页的小薄书，由于语句精炼，相对而言比较抽象，只能慢慢咀嚼，但是看完之后收益很大。相对而言，费勒的《概率论及其应用》第一卷要难些。我只看了第一卷的一部分，但是我也多次阅读了其中的某些章节，每一次阅读都能带来新的收获。像这种经典数学书籍，是不太可能仅仅阅读一遍就完全理解。但我知道，概率论会是我将来一生持续的兴趣和钻研方向所在，因此我会持续学习更高级的部分。

2019 年，由于知道我有购买英文原版书的习惯，在人民邮电出版社工作的朋友问我有没有人工智能方面值得引进的好书推荐。我主要向他推荐了 Judea Pearl 的三本关于因果推断的书，另外询问了他杰恩斯的这本《概率论沉思录》是否有人翻译。他问了出版社后说还没有，因为这本书实在是太厚了，似乎没有人愿意翻译。于是，我主动请缨来翻译这本书，出版社也给予了我支持。

3 年的翻译过程虽然辛苦，但的确充满了愉悦，因为这种经典书籍几乎每读一遍都会有新的收获。在 ChatGPT 时代，翻译这类书籍一般会被认为没有太多价值。然而，我认为我翻译这本中文版《概率论沉思录》的主要价值在译后记部分：我根据自己的多年的理解以及阅读多本其他概率论书籍的思考，撰写了约 20 页的译后记，旨在为读者提供本书的导读与解析。

我花了 3 年时间翻译的物理学家 E.T. 杰恩斯的《概率论沉思录》

2-6 最后放上一些廖老师关于 线性代数相关的绝顶好书列表推荐！

深度数学爱好者们请放心入手～

• David C. Lay. 《线性代数及其应用》（Linear Algebra and Its Applications）（1.0）

  > 推荐语： David Lay 的著作以易懂著称，比较适合初学者. 此书有英文影印版和中文版。每章有习题且有部分习题答案。

• Gilbert Strang《线性代数及其应用》（Linear Algebra and Its Applications）(1.0)

  > 推荐语： 这本书由 MIT 的著名教授 Gilbert Strang 撰写，以清晰的逻辑和丰富的应用实例著称。其实若是单独作为教材我是不太推荐的，最有价值的是网上能找到 Gilbert Strang 的讲课视频，这是非常难得的学习材料，可以结合教材使用。

• Sheldom Axler《线性代数应该这样学（第 3 版）》.人民邮电出版社.（2.0）

  > 推荐语： 公认的阐述线性代数的经典佳作，被全球 40 多个国家、300 余所高校采纳为教材。抛弃晦涩难懂的行列式，从向量空间和线性映射出发描述线性算子。包含习题和大量示例，提高学生理解和熟练运用线性代数知识的能力。

• 斋藤正彦.《线性代数入门》.人民邮电出版社（2.0）

  > 推荐语： 日本长销的线性代数入门名著，书后有习题答案，适合自学。本书去年才由图灵翻译出版，值得关注。

• Peter D. Lax.《线性代数及其应用》. 人民邮电出版社. (2.8)

  > 推荐语： 这本书跟 D.C. Lay 的书是同样书名，但是难度其实不是一个级别，适合作为高等线性代数教材使用。作者是 Peter D. Lax 教授是阿贝尔奖和沃尔夫奖得主。每章都有习题，并提供解答。

第三部分

3-1 学好数学只是依赖天赋么？

这一部分我想谈谈自己对于数学学习的一些思考。

首先是关于数学天赋。 现在经常听到的说法是 “在天赋面前，努力不值一提”，“天赋大于努力”，而且这些说法似乎深得人心，尤其是对于数学是如此。我却认为可以忘记 “天赋” 一词。我们不可否认人与人之间天生的数感差异，但是这只是一种天生的优势和潜力，如果没有后天持续的学习和努力，这种所谓的 “天赋” 将永远不会开花结果。过于强调天赋往往会给自己的不努力提供借口。

其实，关于这个问题，孔老夫子的话很值得我们思考。他曾说，“十室之邑，必有忠信如丘者焉，不如丘之好学也”。他又说 “唯上知与下愚不移”。数学天才和数学极不开窍的人当然都是存在的，但是却跟我们普通人无关。而且，能得菲尔茨奖需要的数学天赋跟我们普通人学习与应用数学所需要的数学天赋也不相同。

至少在高考这个级别，谈论天赋都没有太大意义。高考数学压轴题的正确率一般也会是 1% 以上。我们肯定不会将百里挑一的人就认为是天才。我们普通人还是要相信 “人一能之，己百之；人十能之，己千之。果能此道矣，虽愚必明，虽柔必强” 的《中庸》基本精神。

另一个可以给我们借鉴的例子是跟 “学好数理化，走遍天下都不怕” 这句名言有关的钱伟长先生。他高考国文和历史满分、数学 15 分、物理 5 分、化学 5 分。在现在看来钱先生肯定是要归为数学上的 “下愚” 之列了。可是人家却偏偏要走科学救国之路，转学物理学。他自诩全校最勤奋之人，每天 5 点去图书馆背书，没想到这时候华罗庚先生已经背完了。结果我们也看到了，老先生最终成为了一名卓有成就的物理学家。

钱伟长先生曾担任过清华大学的副校长

可见，数学考 15 分也未必说明没有数学天赋。老是认为自己天赋或智商不如人很可能是画地为牢。

相比于天赋，我认为更为重要的，是持久的兴趣与学习。培养兴趣最有效的当然是来自良师的引导和感染。但是现代信息社会，即使没有碰到良师，也可以通过阅读自己培养兴趣。现在有很多好的数学科普与数学家传记书籍都有助于培养数学兴趣。比如哈代的《一位数学家的自白》，保罗・哈尔莫斯的《我要做数学家》等等。

有了兴趣，更重要的还是踏踏实实花时间努力学习。 “为人不易，为学实难”，民国时期新儒家熊十力先生经常对学生做这样的感慨。我们很多人都可能认为现代社会学习比原来容易了，其实未必。现代社会的学习往往添加了很多功利的因素，高考之前的学习为了更高的高考分数，大学学习为了更高的绩点，工作之后学习为了更高的工资。

互联网社会我们获取最优秀书籍的成本低了许多，但是诸多信息的干扰和生活的压力让沉下心来读书更为不易。要有持续学习的动力，有着良好的学习动机很重要。学习动机以学问本身的兴致为上，以学以致用为中，以将学习作为功利性工具为下。有了兴趣和正确的学习动机，每天花一定时间定时学习进步，则可以体会 “学而时习之，不亦说乎？” 的境界。

此句名言来源于 2000 多年前的圣人孔子之口

3-2 数学学习的特点与常见问题

关于数学之重要性。数学在现代社会的重要性不言而喻，因为数学是所有自然科学、社会科学甚至工程技术的基础与工具。数学的重要性还体现在它对于人类思维的锻炼上。数学的学习过程，实际上是一个不断锻炼逻辑思维、提高抽象能力的过程。

人工智能时代，我们面临的一大问题是学校教育应该教什么，学生应该学什么？ 因为学生在学生时代学习的技能，在他开始找工作时已经被人工智能代替了。我对这一问题的看法是：如果不知道学习什么的话，那么就多花时间学基础课程：数学和人文。我大学时学习的 Fortran 语言，十年前学习的 Perl、Pig 语言，现在很少使用了，但是那时候学习的微积分和线性代数却仍然在使用。“唯数学不会辜负人”，我们需要有这种信念。

我体会到的数学学习有两大特点。一是数学学习没有捷径，也不可能速成。比如我在知乎里就看到这样的帖子 “如何在 1 - 3 天内自学概率论”。这也代表了国内典型的浮躁之气。我的回答是：“1 - 3 天自学概率论只能将书当小说一样翻一遍，知道些名词术语，但是真要懂什么，简直就是痴人说梦”。数学的进步是缓慢的，无论是数学分析、线性代数还是概率论，发展到现在的程度，花费了多少人数百年的努力来构建起来，凭什么你只需要一年半载就可以完全掌握呢？

数学书也没法像读小说一样一个小时一二十页。经典的书，很多时候一个小时能看完并很好理解一页就已经很不错了。半年学通 Python 是没问题的，但是一个人要是说他半年就可以从零基础完全掌握数学分析或者概率论，我却不相信。正因为数学没法速成，所以一个人经过长期积累的数学基础才可以成为其硬资产。

视频网站 bilibili 上就有许多速通 python 的视频

二是学习数学需要循序渐进。这可能是数学跟人文学科的主要区别之一。传统文化读四书五经，虽然也有建议的阅读顺序，但是没有人说一定只能先读《论语》才能读《孟子》。

但是数学却不太相同：很多课程都有先修课程，如何先修课程没有掌握，其实很难掌握这门课程。比如概率论在随机变量函数的分布需要用到多重微积分的内容，讨论多元正态分布是需要用到矩阵符号，所以微积分和线性代数是概率论的先修课程。这些都是需要循序渐进学习的。坊间有言 “实变函数学十遍，随机过程随机过”。如果有人真的感觉学习实变函数、随机过程特别难，很可能是这些课程的先修课程微积分、高等代数和概率论没有学好。

为什么学过后会没有学好呢？我的总结是学习深度不够。我有一个观点，就是所以对于基于数学的科学技术相关任一专业有所追求者，都值得将大学层次的数学基础课（微积分、线性代数、概率论等）自己研读再学习一遍（除了那些本身就在顶级大学数学系，整日沉浸在数学之中，且已经学得很深很好的人外），并且最好学习到数学系的难度。

有人可能会说，我大学相应课程考试都考了 90 分以上，还需要再学习一遍吗？ 我的回答是需要。一是大学课程学习基本是以考试为目的，时间也比较仓促，考试级别的考分高低跟自己是否真正理解其实是不太相关的。

二来大学所用的教材一般是学校老师自编的教材，跟国际上的数学名著和最好的教材一般还是很差距的。能轻易得到世界一流的经典名著，包括其中文版，这是我们这个时代的学习者最重要的优势之一。尽量研读世界级的名著，而不要在二流教材上浪费太多精力，这与是否尊师重教或是否爱国无关。

需要学到数学系的难度一是由于这几门课最为基础，对于后续专业的发展很重要。若学得太浅，相当于盖楼地基打得不深，将来只能盖小洋楼，而不能盖高楼大厦。二是由于这几门课程其实也没有那么抽象，一般人是可以按照数学系的要求学习掌握的。

但即使是世界名著，每门基础课程甚至都可能找到很多本。那么该如何选择，选多少本呢？我的观点是可以先选择两本内容组织方式差别较大，能形成一定相互补充作用的两本。一本作为主要教材，另一本作为主要参考。这样的好处一是多维度理解：不同作者对于同一数学概念或原理的阐述可能会有所不同。这种差异能够帮助我们从多个角度、多个维度去理解数学知识，从而加深理解。

二是补充成全：两本书的内容组织方式差别较大，意味着它们可能在某些方面各有侧重。一本可能更注重理论推导，而另一本可能更注重实际应用或习题解答。这样的组合能够为学生提供更全面的学习体验，确保学习的深度和广度。一门课程有了两本经典教材作为基础，再看其他就会比较快了，因为只看前面两本没有涉及的部分就够了。如果是比研读教材更低级别的教材，的确也是可以向看小说一样快速看完的。

最后是关于做题，前面陈希孺先生的引用已经说的很清楚了（此处的引用在文章的第一部分）。不做题谈不上学习数学的。自学数学的话尽量要选择有习题答案的教材。尽管习题当然要先做再对答案，但若完全没有答案，可能很难验证自己的学习成果。

学习贵在有恒，如果能每天抽出 1 小时学习数学，并且每天至少做 1 道习题。长久坚持下来，必有收获。心中常有几道数学题可思考，也是一件很幸福的事情：无论坐地铁还是坐车都可以用来思考，就不用一有空就抱着手机看了。

3-3 微积分、线性代数与概率论教材推荐

本文章的末尾部仅有概率论相关的书籍推荐，微积分与线性代数相关教材推荐被放在了本系列文章的第一篇与第二篇中。

终于到了真正书籍推荐的部分。不过在正式推荐之前，我还是想引用 L. 戈丁《数学概观》中关于数学教学的一则寓言：

《数学概观》是 2001 年 7 月 1 日科学出版社出版的图书，作者是瑞典作家戈丁。

“三种办法：

老师对他班上的同学说，我要给你们讲解正比例的概念。这个概念在数学、物理学、社会科学和日常生活中，都有用处。它考虑两个变量 $x$ 和 $y$，其中 $y$ 依赖于 $x$，其定义（他转过身去面向黑板，开始写）：

$y$ 称为与 $x$ 成比例，如果存在一个数 $a$，使得对于 $x$ 的

每个值以及 $y$ 的对应值，都有 $y=ax$。

于是他转过身来看看全班。只有一二个人懂了。老师再试着讲解。好了，你们看，我刚才写的是什么意思。

例如，假如我们令 $a=2$（他又转过身面向黑板，并写下）

对于所有 $x$， $y=2x$

他又转过身来，看着全班同学。现在几乎每个人都懂了。但是还有两张发呆的脸。老师再试着讲解。好了，你们看，我刚才写的是什么意思。

比如说，我们令 $x=3$， 那么 $y=6$（他在黑板上写）

$6=2\times 3$

他转过身来看着全班同学。这回人人都明白了。”

引用这个寓言的目的是为了说明数学教学或数学教材大致有三种抽象层次：

• 第一种是极其抽象的层次，只适用于极少数学生（基本上是为未来的数学家准备的），我将其定义为 3.0 层次。

• 第二种是具有一定抽象性，但有一定直观基础的层次，适合大多数学生，我将其定义为 2.0 层次。

• 第三种是完全具体化的层次，几乎没有抽象性，几乎所有学生都能理解，我将其定义为 1.0 层次。

> 我对于数学学习的建议是在看一本 1.0 层次的教材后，尽量选择一两本 2.0 层次的教材进行研读，这样既有一定的抽象性，又不至于感到太难。 看完 2.0 层次的书后其实 3.0 层次的书籍也是可以理解的，至少不会被人用一些抽象数学符号将你吓唬住。

> 我在下面推荐书籍时尽量在后面标识一个 1.0 至 3.0 之间主观数字级别标识难度，供读者参考。

3-4 最后放上一些廖老师关于 概率论相关的绝顶好书列表推荐！

深度数学爱好者们请放心入手～

首先是三本概率论基础的教材：

• 钟开莱《初等概率论（第 4 版）》（Elementary Probability Theory）. 世界图书出版社 （1.0）

  > 推荐语： 钟开莱（1917～2009）是著名华裔数学家、概率学家，被誉为美国“概率教父”。

  《初等概率论》是一部介绍概率论及其应用的入门教程。第 4 版特别增加了两章讲述应用和数学金融，传承前面版本详细、严谨的风格，讲述了有价证券和期货理论的基本知识。但是作为非金融数学方向的读者可以略去。本书第 8 章（From Random Walk to Markov Chains）是笔者读到的讲马尔科夫链最清晰明了的教材。每章有习题且配有答案。遗憾的是本书原来好像有中文版，现在却不容易找到。值得说明的是，作者还有一本基于测度论的《概率论教程》，难度为 2.0，不适合作为概率论入门教材。

• Sheldon Ross（罗斯） 《概率论基础教程》(A First Course in Probability) （1.5）

  > 推荐语： 本书是全球高校采用率最高的概率论教材之一，初版于 1976 年，多年来不断重印修订，最新好像已经到第九版。本书叙述清晰，例子丰富，有助于学生建立概率直觉。每章都有习题和理论练习，可能显得有些多，有些也会有点简单重复，但是若能坚持做完也会很有收益。书后有部分习题答案，网上能找到全部习题解答，适于自学。

• Dimitri P. Bertsekas 等著. 《概率导论（第 2 版修订版）》 人民邮电出版社（1.5）

  > 推荐语： 本书基于麻省理工学院开设的概率论入门课程编写，内容全面，例题和习题丰富。习题有答案，适于自学。本书的特点是从一开始就同时介绍概率的贝叶斯和频率这种视角，并且有两章分别介绍频率派统计与贝叶斯统计。一章介绍马尔科夫链，一章介绍伯努利过程和泊松过程（相对一般概率论书籍独特的一章）。国内读者可能感到稍微不适的地方是本书并没有单独一章介绍期望与方差，而是融合在随机变量章节中进行介绍。

以上概率论教材建议 3 选 2， 建议将钟开莱教授的那本作为必选，然后另选一本。

• William Feller（威廉・费勒）《概率论及其应用》. 人民邮电出版社（2.5）

  > 推荐语： 本书分 1/2 两卷，第 1 卷为普通概率论内容，第 2 卷为高级部分。本书是十分经典的概率论教材，曾经影响了包括中国在内的世界各国几代概率论及其相关领域的学生和研究者。配有丰富的例子和大量的习题，涉及多个领域的应用，极具启发性。陈希孺先生编有所有习题的详细习题解答。本书是数学概率论的集大成之作。

• E.T. Jaynes (杰恩斯)《概率论沉思录》. 人民邮电出版社 （2.5）

  > 推荐语： 对于是否推荐这本书，我其实曾有一定犹豫，主要是自己翻译了这本书。后来觉得本着举贤不避亲的精神，还是应该将其列出来。网上可以方便地获得本书英文原文 PDF，原来人民邮电 2009 年出版的英文影印版二手其实也可以高价买到。建议尽量看英文原版。资深计算机技术和概率统计专家凯文・范霍恩 (K. S. Van Horn) 认为本书是 20 世纪最重要的概率论著作之一。恐怕将本书看做费勒《概率论及其应用》之后的最重要概率论著作也不为过。本书与费勒的书不同，采用科学和逻辑的视角，将概率论视为布尔逻辑的扩展与科学的逻辑。本书也是客观贝叶斯主义概率论的代表著作。

• Kolmogorov.《概率论基础》(Foundations of Probability Theory) (3.0)

  > 推荐语： 这本书的中文版叫《概率论基本概念》，已经很难找到。反而是英文版 Foundations of Probability Theory 比较容易找到。本书就是作者将概率论变成一门数学的奠基之作。这本书很薄，读者可以通过这本书体会什么是 3.0 级别的数学书籍。

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坚实的数学基础对人工智能至关重要

Strong Math Foundations are Important for AI

新智元 2024 年 03 月 07 日 13:10 北京

UC 伯克利 EECS 教授 Jelani Nelson 联合发起了一个倡议，强调「坚实的数学基础对人工智能至关重要」。

「虽然 Elon Musk 和 Sam Altman 最近在很多问题上都有分歧，但他们都认同，AI 的构建是以代数和微积分等坚实的数学基础为支撑的。」

目前，已经有 31 位业内大佬在上面签署了自己的名字。

要想搞好 AI，就必须让孩子学好数学

人工智能即将深刻改变我们所熟悉的社会面貌。为了迎接这一未来，培养未来劳动力掌握构建和部署人工智能技术的知识变得尤为重要。

现代人工智能创新的核心，无一不与代数、微积分和概率论等核心数学概念息息相关。因此，要想涉足这些技术的开发，学生们必须打下坚实的数学基础。

我们特别赞赏加利福尼亚大学近期明确其数学入学要求，确保它们必须符合州对大学准备水平的标准定义。

尽管当前的进步似乎让人觉得传统的数学课题如微积分或代数已经过时，但实际情况却恰恰相反。

事实上，现代人工智能系统深深植根于数学之中，对数学的深入理解对于从事此领域工作的人来说是必不可少的。

深度学习的算法核心 —— 梯度下降 —— 正是将微积分和线性代数结合起来的一个典范。

向量和矩阵构成了神经网络的基础，对数尺度上的增长模型对于神经网络训练科学至关重要。

三角函数和毕达哥拉斯定理远非「过时」，它们是数据科学中如傅立叶变换和最小二乘法等关键工具的基础。

在高中阶段学习这些核心课题，是为将来在机器学习、数据科学或任何 STEM 领域深造做好准备的最佳方式，我们更倾向于招那些掌握了基础知识的学生，而不是那些只对最新工具或软件略知一二的学生。

如果公共教育的数学课程标准不能得到维持，将加大公立与私立学校 —— 尤其是资源不足地区的公立学校 —— 之间的差距，这将阻碍 STEM 领域多样化的努力。

所有加州孩子 —— 不仅仅是那些接受私立教育的孩子 —— 都应该享受到顶尖的数学教育，为我们的未来打下坚实的基础。

我们敦促加州政策制定者尽最大努力确保所有孩子都能获得这样的教育机会。

UC 伯克利明确数学的录取要求

在 UC 伯克利公布的一份文件，明确提出了对申请者学习数学课程的要求。

工作组的重点是，那些课程可以替代加州大学入学要求的代数 II / 数学 III 要求的标准，以及建议申请者在数学第四年应该选修的课程水平。

报告中提出了主要两项建议。

首先，若想替代代数 II / 数学 III 的课程，还必须是「需要高级代数知识的课程」。

因此，统计学课程不能替代高级代数的基础课程。

工作组提出这样的建议，是因为代数的深入了解是各种定量方法的基础，要求修读一门高级代数课程将最好地为学生准备进入大学主修最广泛的专业。

第二项建议中，需要申请者在完成三门基础课程（代数 I - 几何 - 代数 II 或数学 I-II-III）之外，再修读第四年的数学课程。

这第四年的课程，就是为了扩展基础课程内容之外的数学知识。

因此，对于 Area C 内的某些类别，工作组建议区分高等数学课程和基础或数学选修课程。

通过鼓励申请者选修最严格的高中数学课程，BOARS 相信他们将为大学级别的定量课程做好更好的准备。

参考资料：

• Strong Math Foundations are Important for AI
  https://www.mathmatters.ai/

• BOARS Area C Workgroup Stage 1 Report - boarsacwphase1report-20240221.pdf
  https://senate.universityofcalifornia.edu/_files/committees/boars/documents/boarsacwphase1report-20240221.pdf

• https://twitter.com/boazbaraktcs/status/1765463816585019903

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via:

• 一位物理背景算法工程师的数学心路 1｜学习之路大学前
  https://mp.weixin.qq.com/s/wIGyWvYLuYAqMXI0HfAvCQ

• 一位物理背景算法工程师的数学心路 2｜大学与工作之路
  https://mp.weixin.qq.com/s/97x-HVHt3Wwq4i7Kc4MOkQ

• 一位物理背景算法工程师的数学心路 3｜数学学习之思
  https://mp.weixin.qq.com/s/t3nY7FULxwcsfr95mnbYTA

• 陈省身：从三角形到流形_几何
  https://www.sohu.com/a/333164956_652527

• 搞AI，孩子必须学好数学！马斯克Altman罕见达成一致，LeCun/Jeff Dean 等 31 位大佬签署联名信
  https://mp.weixin.qq.com/s/9w1OLNUUA4C6GADiYvy1dA