ZOJ 3647(格点上的三角形数目)

最新推荐文章于 2023-05-30 22:06:29 发布

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分类专栏：组合数学

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/u013649253/article/details/46271967

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这篇博客讲述了在ZOJ 3647问题中，如何计算格点网络上的三角形数量。作者提到了思路是应用组合公式并排除三点共线的情况。常规方法是枚举矩形并确定共线点，但作者并未完全展示代码实现，承诺后续补充。

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这道题目说起来真的是忧伤啊，比赛一开始的时候就开始做做了一场也没有做出来～。

题目链接： http://acm.zju.edu.cn/onlinejudge/showProblem.do?problemCode=3647

题意：就是在格点网络上数三角形。

思路：思路就是先做一个C(3, n*m) 然再把三点共线的情况全部减掉。

关键就是如果找三点共线的情况，最常规的思路是枚举矩形（也就是枚举三点中的两个点），然后找去对角线上有几个点（枚举第三个点），再来判这个小矩形在整个大矩形中最多出现多少次。

code：

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#define clr(x, y) memset(x, y, sizeof x)

using namespace std;

typedef long long LL;

const int maxn = 1005;

int n, m;

int gcd(int a, int b)
{
    int mid;
    while(b != 0)
    {
        mid = a;
        a = b;
        b = mid % b;
    }
    return a;
}

LL cal(int _n)
{
    if (_n < 3) return 0;
    return (LL)_n * (_n - 1) * (_n - 2) / 6;
}

int main()
{
    while(scanf("%d%d", &n, &m) == 2)
    {

        LL ans = cal((n + 1) * (m + 1)) - cal(n + 1) * (m + 1) - cal(m + 1) * (n + 1);

        for (int i = 1; i <= n; i++)
        {
            for (int j = 1; j <= m; j++)
            {
                ans -= (LL)(gcd(i, j) - 1) * (n - i + 1) * (m - j + 1) * 2;
            }
        }

        printf("%lld\n", ans);
    }
    return 0;
}

还有一种思路就是dp

dp[n][m] 表示n*m的矩形里面的三角形的个数，然后用容斥定理找其与dp[n-1][m] dp[n][m-1] dp[n-1][m-1] 之间的关系，具体的我还没有去写，找时间补上。