自相关函数&自相关矩阵

自相关函数

对于一个一维信号$x[n]$，自相关函数$R_{xx}[\tau ]$定义为：
R x x [ τ ] = E { x [ n ] x ∗ [ n + τ ] } R_{xx}[\tau] = E\{x[n]x^*[n+\tau]\} Rxx​[τ]=E{x[n]x∗[n+τ]}
这里， E { ⋅ } E\{\cdot\} E{⋅}表示期望值运算，$\tau$是时延，$x^{\ast }$表示复共轭（如果信号是实数，则可以忽略复共轭操作）。

自相关矩阵

对于一个$N$维随机向量$X=[x_1,x_2,...,x_N{]}^T$，自相关矩阵$R_{XX}$定义为：
R X X = E { X X H } R_{XX} = E\{XX^H\} RXX​=E{XXH}
其中，$X^H$表示$X$的共轭转置（Hermitian transpose），即$X^H=(X^{\ast }{)}^T$。

关系

从一维信号到自相关矩阵

假设有一个一维信号$x[n]$，可以将其在一个固定长度的窗口内（例如$N$个连续的样本）看作一个$N$维向量$X$。具体来说，如果我们将信号$x[n]$的$N$个连续样本表示为：
$$X=[x[n],x[n+1],...,x[n+N-1]{]}^T$$

那么，自相关矩阵$R_{XX}$的第$i,j$个元素$R_{XX}[i,j]$可以表示为：
R X X [ i , j ] = E { x [ n + i − 1 ] x ∗ [ n + j − 1 ] } R_{XX}[i,j] = E\{x[n+i-1]x^*[n+j-1]\} RXX​[i,j]=E{x[n+i−1]x∗[n+j−1]}

这实际上就是自相关函数$R_{xx}[\tau ]$在时延$\tau =j-i$处的值。因此，自相关矩阵$R_{XX}$的每个元素都可以用自相关函数$R_{xx}[\tau ]$来表示。

表达式

假设有一个长度为$N$的信号$x[n]$，其自相关函数$R_{xx}[\tau ]$已知。那么，自相关矩阵$R_{XX}$可以写成如下形式：

$$R_{XX}=\left[\begin{array}{ccccc}{R}_{xx}[0]& R_{xx}[-1]& R_{xx}[-2]& \cdots & R_{xx}[-(N-1)]\\ R_{xx}[1]& R_{xx}[0]& R_{xx}[-1]& \cdots & R_{xx}[-(N-2)]\\ R_{xx}[2]& R_{xx}[1]& R_{xx}[0]& \cdots & R_{xx}[-(N-3)]\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ R_{xx}[N-1]& R_{xx}[N-2]& R_{xx}[N-3]& \cdots & R_{xx}[0]\end{array}\right]$$
其中，
$$R_{XX}[i,j]=R_{xx}[j-i]$$

总结

• 自相关函数是一维的，描述了信号在不同时间点上的相关性。
• 自相关矩阵是二维的，描述了信号在多个维度上的相关性。
• 关系：自相关矩阵的每个元素可以用自相关函数在不同时延处的值来表示。自相关矩阵可以看作是自相关函数在有限维度上的矩阵形式表示。

通过这种关系，可以将一维信号的自相关特性扩展到多维信号的分析中。