隐藏的那些联系

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前言

对一个新的复杂事物的研究可以通过将其分解为多块不同的碎片进行学习，然而如果没有找到碎片间的联系，即使对碎片进行了学习也拼凑不出整个拼图，从而不能对这个复杂的事物达到整体清晰的认识，而这些碎片也是容易被记忆垃圾收集器回收掉的。近日学习了数学的相关碎片知识，在此将其相关的联系进行总结。

一、碎片

1、碎片Ⅰ

数列的极限：数列 { u n } \{u_n\} {un​} 与常数 $A$，如果它们之间满足下列关系：“对于任意给定的 $ϵ>0$ ，存在正整数 $N>0$，当（序号）$n>N$ 时，就有 $|u_n-A|<ϵ$ ”，则称数列 { u n } \{u_n\} {un​} 收敛，且收敛于 $A$，记为 $\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n=A$，也称 “当 $n\to \infty$ 时 $u_n$ 的极限为 $A$”.

2、碎片Ⅱ

函数的极限：设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某一去心邻域内有定义，若存在常数 $A$，对于任意给定的 $ϵ>0$（不论它多么小），总存在正数 $\delta$，使得当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时，对应的函数值 $f(x)$ 都满足不等式 $|f(x)-A|<ϵ$，则 $A$ 就叫作函数 $f(x)$ 当 $x\to x_0$ 时的极限，记为 $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A$ 或 $f(x)\to A(x\to x_0)$，写成 “$ϵ-\delta$ 语言”：$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A\iff \forall ϵ>0,\exists \delta >0$，当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时，有 $|f(x)-A|<ϵ$.

3、碎片Ⅲ

无穷区间上的反常积分敛散性判断：
性质：${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)dx={\int }_{-\infty }^{0}f(x)dx+{\int }_0^{+\infty }f(x)dx$，${\int }_{-\infty }^{0}f(x)dx$ 与 ${\int }_0^{+\infty }f(x)dx$ 之一 发散，则称 ${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)dx$ 发散。

① 比较判别法：设 $f(x),g(x)$ 在 $[a,+\infty )$ 上连续，且 $0⩽f(x)⩽g(x)$，则
(1) 当 ${\int }_a^{+\infty }g(x)dx$ 收敛时，${\int }_a^{+\infty }f(x)dx$ 收敛;
(2) 当 ${\int }_a^{+\infty }f(x)dx$ 发散时，${\int }_a^{+\infty }g(x)dx$ 发散.
② 比较法的极限形式：设 $f(x),g(x)$ 在 $[a,+\infty )$ 上 非负 连续，且 $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\lambda$（有限或无穷），则
(1) 当 $\lambda \ne 0$ 时，${\int }_a^{+\infty }f(x)dx$ 与 ${\int }_a^{+\infty }g(x)dx$ 同敛散;
(2) 当 $\lambda =0$ 时，${\int }_a^{+\infty }g(x)dx$ 收敛，则 ${\int }_a^{+\infty }f(x)dx$ 也收敛;
(3) 当 $\lambda =+\infty$ 时，${\int }_a^{+\infty }g(x)dx$ 发散，则 ${\int }_a^{+\infty }f(x)dx$ 也发散;
③ 常用结论：(a>0)$${\int }_a^{+\infty }\frac{1}{x^p}dx\{\begin{array}{ll}p>1& \text{收敛}\\ p⩽1& \text{发散}\end{array}$$

无界函数的反常积分敛散性判断：
性质：${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{c}f(x)dx+{\int }_c^{b}f(x)dx$，点 $c$ 为函数 $f(x)$ 的瑕点，${\int }_a^{c}f(x)dx$ 与 ${\int }_c^{b}f(x)dx$ 之一 发散，则称 ${\int }_a^{b}f(x)dx$ 发散。

① 比较判别法：设 $f(x),g(x)$ 在 $(a,b]$ 上连续，且 $0⩽f(x)⩽g(x)$，$x=a$ 为 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的瑕点。则
(1) 当 ${\int }_a^{b}g(x)dx$ 收敛时，${\int }_a^{b}f(x)dx$ 收敛;
(2) 当 ${\int }_a^{b}f(x)dx$ 发散时，${\int }_a^{b}g(x)dx$ 发散.
② 比较法的极限形式：设 $f(x),g(x)$ 在 $(a,b]$ 上 非负 连续，且 $\underset{x\to a^{+}}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\lambda$（有限或无穷），则
(1) 当 $\lambda \ne 0$ 时，${\int }_a^{b}f(x)dx$ 与 ${\int }_a^{b}g(x)dx$ 同敛散;
(2) 当 $\lambda =0$ 时，${\int }_a^{b}g(x)dx$ 收敛，则 ${\int }_a^{b}f(x)dx$ 也收敛;
(3) 当 $\lambda =+\infty$ 时，${\int }_a^{b}g(x)dx$ 发散，则 ${\int }_a^{b}f(x)dx$ 也发散;
③ 常用结论：$${\int }_a^b\frac{1}{(x-a{)}^p}dx\{\begin{array}{ll}p<1& \text{收敛}\\ p⩾1& \text{发散}\end{array}$$ $${\int }_a^b\frac{1}{(b-x{)}^p}dx\{\begin{array}{ll}p<1& \text{收敛}\\ p⩾1& \text{发散}\end{array}$$

4、碎片Ⅳ

无穷级数敛散性判断
性质：若 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$ 收敛，$\sum _{n=1}^{\infty }{v}_n$ 发散，则 $\sum _{n=1}^{\infty }(u_n\pm v_n)$ 必发散。若 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$ 和 $\sum _{n=1}^{\infty }{v}_n$ 都发散，则 $\sum _{n=1}^{\infty }(u_n\pm v_n)$ 敛散性不定。

① 定义法：若部分和数列 $s_n$ 有极限 $s$，即 $\underset{n\to \infty }{\lim }{s}_n=s$，则称级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$ 收敛，反之称级数发散。

② 正项级数：
1）比较判别法：
设 $u_n⩽v_n$，则 $\sum _{n=1}^{\infty }{v}_n$ 收敛 $\Rightarrow$ $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$ 收敛；$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$ 发散 $\Rightarrow$ $\sum _{n=1}^{\infty }{v}_n$ 发散.
2）比较法极限形式：
设 $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{u_n}{v_n}=l(0⩽l⩽+\infty )$，
(1) 若 $0<l<+\infty$，则 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$ 与 $\sum _{n=1}^{\infty }{v}_n$ 同敛散；
(2) 若 $l=0$，则 $\sum _{n=1}^{\infty }{v}_n$ 收敛 $\Rightarrow$ $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$ 收敛；$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$ 发散 $\Rightarrow$ $\sum _{n=1}^{\infty }{v}_n$ 发散；
(3) 若 $l=+\infty$，则 $\sum _{n=1}^{\infty }{v}_n$ 发散 $\Rightarrow$ $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$ 发散；$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$ 收敛 $\Rightarrow$ $\sum _{n=1}^{\infty }{v}_n$ 收敛.
3）比值法：
若 $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{u_{n+1}}{u_n}=\rho$，则 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n\{\begin{array}{ll}\text{收敛,}& \rho <1\\ \text{发散,}& \rho >1\\ \text{不一定}& \rho =1\end{array}$
4）根值法：
若 $\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{u_n}=\rho$，则 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n\{\begin{array}{ll}\text{收敛,}& \rho <1\\ \text{发散,}& \rho >1\\ \text{不一定}& \rho =1\end{array}$
5）积分判别法：
设 $f(x)$ 是 $[1,+\infty )$ 上单调减，非负的连续函数，且 $a_n=f(n)$，则 $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n$ 与 ${\int }_1^{+\infty }f(x)dx$ 同敛散。

③ 交错级数：莱布尼茨准则。若 $u_n$ 单调减，且 $\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n=0$，则 $\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}{u}_n$ 收敛.

④ 任意项级数：
1）绝对收敛与条件收敛概念：
(1) 若级数 $\sum _{n=1}^{\infty }|u_n|$ 收敛，则 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$ 必收敛，此时称级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$ 绝对收敛；
(2) 若级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$ 收敛，但 $\sum _{n=1}^{\infty }|u_n|$ 发散，此时称级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$ 条件收敛。
2）绝对条件和条件收敛的基本结论：
(1) 绝对收敛的级数一定收敛，即 $\sum _{n=1}^{\infty }|u_n|$ 收敛 $\Rightarrow$ $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$ 收敛；
(2) 条件收敛的级数的所有正项（或负项）构成的级数一定发散，即 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$ 条件收敛 $\Rightarrow$ $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{u_n+|u_n|}{2}$ 和 $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{u_n-|u_n|}{2}$ 发散。

5、碎片Ⅴ

幂级数敛散性判断：阿贝尔定理。如果级数为 $\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$，当 $x=x^{\ast }(x^{\ast }\ne 0)$ 时收敛，则当 $|x|<|x^{\ast }|$ 时 $\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$ 绝对收敛；当 $x=x^{\ast }$ 时发散，则当 $|x|>|x^{\ast }|$ 时 $\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$ 发散。

6、碎片Ⅵ

函数的幂级数展开：
设 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处 任意阶可导，则 $\sum _{n=0}^{\infty }\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n$ 在 $(x_0-R,x_0+R)$ 上收敛于 $f(x)$ $\iff$ $\underset{n\to \infty }{\lim }{R}_n(x)=0$，其中 $R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}(x-x_0{)}^{n+1}$ 为 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的泰勒公式 $f(x)=\sum _{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0{)}^k+R_n(x)$ 中的余项。

7、碎片Ⅶ

傅里叶级数：
设函数 $f(x)$ 是周期为 $2\pi$ 的周期函数，且在 $[-\pi ,\pi ]$ 上可积，则称 $a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nxdx(n=0,1,2,\cdots )$，$b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nxdx(n=1,2,\cdots )$ 为 $f(x)$ 的傅里叶系数，称级数 $\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$ 为 $f(x)$ 以 $2\pi$ 为周期的傅里叶级数，记作 $f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$
收敛定理（狄利克雷）：
设 $f(x)$ 是 $[-\pi ,\pi ]$ 上的分段单调函数，除有限个第一类间断点外都是连续的，则 $f(x)$ 的傅里叶级数在 $[-\pi ,\pi ]$ 上处处收敛，且收敛于：
1）$f(x)$，当 $x$ 为 $f(x)$ 的连续函数
2）$\frac{f(x^{-})+f(x^{+})}{2}$，当 $x$ 为 $f(x)$ 的间断点
3）$\frac{f(-{\pi }^{+})+f({\pi }^{-})}{2}$，当 $x=\pm \pi$

二、联系

1、联系Ⅰ

碎片Ⅰ$\iff$碎片Ⅱ
海涅定理（归结原则）：设 $f(x)$ 在 $\mathring{U}(x_0,\delta )$ 内有定义，则 $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A$ 存在 $\iff$ 对 任何 $\mathring{U}(x_0,\delta )$ 内以 $x_0$ 为极限的数列 { x n } ( x n ≠ x 0 ) \{x_n\}(x_n \neq x_0) {xn​}(xn​​=x0​)，极限 $\underset{n\to \infty }{\lim }f(x_n)=A$ 存在。海涅定理是联系数列极限与函数极限的桥梁。
经典例题：证明 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x}\sin \frac{1}{x}$ 不存在。
证明：若取 $x_n=\frac{1}{n\pi }\to 0,n\to \infty$，则有 $f(x_n)=0$；若取 $x_n^{\prime }=\frac{1}{(2n+\frac{1}{2})\pi }\to 0,n\to \infty$，则有 $f(x_n^{\prime })=(2n+\frac{1}{2})\pi \to \infty ,n\to \infty$，根据海涅定理，极限不存在。

2、联系Ⅱ

碎片Ⅲ$\iff$碎片Ⅳ
积分判别法：设 $f(x)$ 是 $[1,+\infty )$ 上单调减，非负的连续函数，$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n$ 为正项级数，且 $a_n=f(n)$，则 $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n$ 与 ${\int }_1^{+\infty }f(x)dx$ 同敛散。

3、联系总图

将所有碎片聚合拼凑出的关系图如下所示，左边部分是函数体系，中间部分是幂级数体系，右边部分为常数项级数体系。
① 函数的定积分 ${\int }_a^{b}f(x)dx$ 与 常数项级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$ 的关系是通过 积分判别法 建立的。
② 函数极限与数列极限的关系是通过 海涅定理 建立的。
③ 函数 $f(x)$ 能展开为幂级数 $\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$ 中的泰勒级数 $\sum _{n=0}^{\infty }\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n$ 和傅里叶级数 $\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$，而泰勒级数和傅里叶级数也可收敛于函数 $f(x)$.
④ 幂级数 $\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$ 的收敛半径、收敛区间、收敛域的确定与常数项级数敛散性的判定的关系是通过 阿贝尔定理 建立的。

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总结

将复杂事物碎片化能方便我们理解，但同时我们获得的也是碎片化的思维，如果不及时将各个碎片化的思维进行关联关系的建立，记忆垃圾收集器将会把我们的思维碎片进行清理，这也就是我们遗忘的原因之一。只有将碎片化的思维拼凑出完整的图形才能常驻于记忆中，才能成为我们可调用的资源之一。