组合数模p

最新推荐文章于 2021-11-02 21:43:19 发布

lshacm

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求C(n,m)%p，p为质数
1. 1=< n< = $10^9$ ,1=< m< = $10^5$ ,1=< p< = $10^9$
解法：欧拉定理法求逆
复杂度：O(m*logp)

ll power(ll a,ll b,ll p){
    ll ans=1;
    while(b){
        if(b&1) { ans=(ans*a)%p,b--; }
        else { b>>=1; a=(a*a)%p; }
    }
    return ans;
}

ll ni(ll a,ll p){
    return power(a,p-2,p);
}

ll C(ll n,ll m,ll p){
    ll ans=1;
    for(ll i=1;i<=m;i++){
        ll mu=(n+i-m)%p;
        ll zi=ni(i,p);
        ans=(((ans*mu)%p)*zi)%p;
    }
    return ans;
}

2.1<=n,m<= $10^9$ ，1<=p<= $10^5$ ，1<=cas<= $10^5$
每组询问n,m,p均不同!
解法：
1.预处理factorial[i][j]：j!%第i个质数—O(p*π(p))
2.利用lucus定理求C(n,m)%p—O(logm*logp)
3.共t组数据，总复杂度O(p*π(p)+t*logm*logp)
注：这种预处理方式耗费大量空间和时间，在p很小的时候才能采用

ll biao[maxn];
bool not_prime[maxn];
vector<ll> prime;
ll factorial[maxn][maxn];

void init(){//预处理阶乘模p
    not_prime[0]=not_prime[1]=1;
    memset(biao,-1,sizeof(biao));
    ll num=0;
    for(ll i=2;i<maxn;i++){
        if(!not_prime[i])  prime.push_back(i);
        for(ll j=0;j<prime.size(),i*prime[j]<maxn;j++){
            not_prime[i*prime[j]]=1;
            if(!(i%prime[j])) break;
        }
    }
    //预处理所有的阶乘j!%p[i]:存入factorial[i][j]中
    for(ll i=0;i<prime.size();i++){
        factorial[i][0]=1;
        biao[prime[i]]=i;
        for(ll j=1;j<=prime[i];j++){
            factorial[i][j]=(factorial[i][j-1]*j)%prime[i];
        }
    }
}

ll power(ll a,ll b,ll p){
    ll ans=1;
    while(b){
        if(b&1) { ans=(ans*a)%p; b--; }
        else { a=(a*a)%p; b>>=1; }
    }
    return ans;
}

ll ni(ll a,ll p){
    return power(a,p-2,p);
}

ll C(ll n,ll m,ll p){//1<=n,m,p<=10^5 C(n,m)%p---O(logp)
    if(n<m) return 0;
    ll b=biao[p];
    return (factorial[b][n]*ni((factorial[b][m]*factorial[b][n-m])%p,p))%p;
}

ll lucus(ll n,ll m,ll p){//C(n,m)%p---O(logm*logp)
    ll ans=1;
    while(m&&n){
        ans=(ans*C(n%p,m%p,p))%p;
        if(!ans) break;
        n/=p，m /=p;
    }
    return ans;
}