【openjudge】C15C Rabbit's Festival【CDQ分治+并查集】

本博客详细解析了C15CRabbit’sFestival题目的解决策略,通过CDQ算法和并查集优化实现高效的区间处理。文章深入探讨了算法的实现细节,并提供了优化思路,对于理解并查集应用和CDQ算法有重要指导意义。

摘要生成于 C知道 ,由 DeepSeek-R1 满血版支持, 前往体验 >

传送门:【openjudge】C15C Rabbit’s Festival

题目分析:

考虑到每条边最多只断一天,我们可以用cdq来模拟这个过程。假设当前区间为 [l,r] ,令 m=(l+r)/2 ,选择 [l,m] 区间时,我们便将 [m+1,r] 内的边全部使用掉,然后递归处理 [l,m] 部分。处理完 [l,m] 部分后我们将 [m+1,r] 回溯掉,然后将 [l,m] 内的边都使用掉,递归处理 [m+1,r] 部分,最后再将 [l,m] 内使用的边回溯掉……

YY一下,我们可以发现这个过程正好模拟了并查集的加边过程(利用了逐层并差集的方法)。

最后我们发现每个区间我们恰好用了一次,一共 log(K) 层,所以一共我们使用了 O(Klog(K)) 个元素,接下来我们考虑里面的并查集,为了保证并查集的复杂度,我们考虑启发式合并,高度小的合并到高度大的上面。这里我们假设是一个 log ,那么算法总复杂度为 O(Klog2(K))

my  code:

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
using namespace std ;

typedef long long LL ;

#define clr( a , x ) memset ( a , x , sizeof a )
#define cpy( a , x ) memcpy ( a , x , sizeof a )

const int MAXN = 100005 ;
const int MAXE = 200005 ;

struct Edge {
    int u , v , n ;
    Edge () {}
    Edge ( int u , int v , int n ) : u ( u ) , v ( v ) , n ( n ) {}
} ;

struct Node {
    int u , v , cntu , cntv , ranku , rankv ;
    Node () {}
    Node ( int u , int v , int cntu , int cntv , int ranku , int rankv ) : u ( u ) , v ( v ) , cntu ( cntu ) , cntv ( cntv ) , ranku ( ranku ) , rankv ( rankv ) {}
} ;

Edge E[MAXE] ;
int H[MAXN] , cntE ;
int n , m , k ;
Node S[MAXE] ;
int cnt[MAXN] ;
int p[MAXN] ;
int rank[MAXN] ;
int top ;
LL ans ;

void init () {
    ans = 0 ;
    top = 0 ;
    cntE = 0 ;
    clr ( H , -1 ) ;
}

void addedge ( int x , int u , int v ) {
    E[cntE] = Edge ( u , v , H[x] ) ;
    H[x] = cntE ++ ;
}

int find ( int x ) {
    int o = x ;
    while ( p[o] != o ) o = p[o] ;
    int ans = o ;
    while ( p[x] != x ) {
        int tmp = p[x] ;
        p[x] = tmp ;
        x = tmp ;
    }
    return ans ;
}

void Union ( int l , int r ) {
    for ( int t = l ; t <= r ; ++ t ) {
        for ( int i = H[t] ; ~i ; i = E[i].n ) {
            int u = find ( E[i].u ) ;
            int v = find ( E[i].v ) ;
            if ( u == v ) continue ;
            S[top ++] = Node ( u , v , cnt[u] , cnt[v] , rank[u] , rank[v] ) ;
            ans += ( LL ) cnt[u] * cnt[v] ;
            if ( rank[u] <= rank[v] ) {
                rank[v] = max ( rank[v] , rank[u] + 1 ) ;
                p[u] = v ;
                cnt[v] += cnt[u] ;
            } else {
                p[v] = u ;
                cnt[u] += cnt[v] ;
            }
        }
    }
}

void back ( int x ) {
    while ( top > x ) {
        -- top ;
        int u = S[top].u , v = S[top].v ;
        ans -= ( LL ) S[top].cntu * S[top].cntv ;
        p[u] = u ;
        p[v] = v ;
        cnt[u] = S[top].cntu ;
        cnt[v] = S[top].cntv ;
        rank[u] = S[top].ranku ;
        rank[v] = S[top].rankv ;
    }
}

void cdq ( int l , int r ) {
    if ( l == r ) {
        printf ( "%lld\n" , ans ) ;
        return ;
    }
    int m = ( l + r ) >> 1 ;
    int rtop = top ;
    Union ( m + 1 , r ) ;
    cdq ( l , m ) ;
    back ( rtop ) ;
    Union ( l , m ) ;
    cdq ( m + 1 , r ) ;
    back ( rtop ) ;
}

void solve () {
    int u , v , c ;
    init () ;
    for ( int i = 1 ; i <= n ; ++ i ) {
        p[i] = i ;
        cnt[i] = 1 ;
        rank[i] = 0 ;
    }
    for ( int i = 0 ; i < m ; ++ i ) {
        scanf ( "%d%d%d" , &u , &v , &c ) ;
        if ( c > k ) {
            u = find ( u ) ;
            v = find ( v ) ;
            if ( u == v ) continue ;
            if ( rank[u] <= rank[v] ) {
                rank[v] = max ( rank[v] , rank[u] + 1 ) ;
                p[u] = v ;
                cnt[v] += cnt[u] ;
            } else {
                p[v] = u ;
                cnt[u] += cnt[v] ;
            }
        } else addedge ( c , u , v ) ;
    }
    cdq ( 1 , k ) ;
}

int main () {
    while ( ~scanf ( "%d%d%d" , &n , &m , &k ) ) solve () ;
    return 0 ;
}
<think>首先,用户的问题是关于CDQ分治算法的基本原理及其应用场景。我需要根据系统级指令来构建我的回答。 系统级指令关键点: - 所有行内数学表达式必须使用$...$格式。 - 独立公式必须使用$$...$$格式并单独成段。 - LaTeX语法正确。 - 使用中文回答。 - 生成相关问题。 - 回答中引用的段落末尾自然地添加引用标识。 - 回答结构清晰,帮助用户逐步解决问题,保证实可靠。 参考站内引用: - 引用[1]:关于分治思想的描述,包括分块、递归等。 - 引用[2]:关于书籍的引用,不相关。 - 引用[3]:关于下载资源的链接,不相关。 用户正的需求是理解CDQ分治的概念和原理,所以我需要专注于CDQ分治CDQ分治的基本原理: - CDQ分治是由陈丹琦(Chen Danqi)提出的一种算法,用于处理偏序问题,如三维偏序问题。 - 它是分治思想的一种应用,特别适合解决离线查询问题。 - 核心思想:将问题分成子问题,递归解决,然后合并结果,处理跨越子问题的部分。 应用场景: - 三维偏序问题:例如,给定点集,统计每个点满足某些条件的点数。 - 动态规划优化:如斜率优化等。 - 其他离线查询问题。 我的回答结构: 1. **介绍CDQ分治**:简要说明其背景和目的。 2. **基本原理**:解释算法步骤,使用数学表达式描述。 3. **应用场景**:列出常见应用。 4. **生成相关问题**:在最后添加相关问题。 5. **添加引用**:在引用段落末尾自然添加引用标识。 数学表达式: - 行内数学:如变量、点坐标等,使用$...$。 - 独立公式:如方程,使用$$...$$。 例如: - 行内:点$P_i = (a_i, b_i, c_i)$ - 独立:偏序关系公式。 生成相关问题: - 基于CDQ分治,如"CDQ分治如何优化三维偏序问题?"或"CDQ分治的时间复杂度分析?" 确保回答实可靠: - 基于算法知识,CDQ分治常用于OI竞赛中处理偏序问题。 引用处理: - 参考引用[1]是关于分治思想的,我可以引用它来支持分治部分。 - 其他引用不相关,但系统说"请尽可能多的参考用户上一次的问题和你的回答",但用户没有上一次问题,所以基于当前引用。 最终回答大纲: - 开头:介绍CDQ分治。 - 原理部分:分步骤解释,使用LaTeX。 - 应用场景:列举例子。 - 相关问题:在最后添加。 - 结尾:自然结束。</think>### CDQ分治算法的基本原理及其应用场景 CDQ分治(Chen Danqi Divide and Conquer)是由中国计算机科学家陈丹琦提出的一种分治算法变体,主要用于处理离线查询问题,特别是多维偏序问题(如三维偏序)。它在算法竞赛和数据处理中应用广泛,能高效解决一些复杂问题。下面我将逐步解释其基本原理和应用场景,确保内容清晰可靠。 #### 1. CDQ分治的基本原理 CDQ分治基于经典分治思想,但针对偏序问题进行了优化。核心思路是将问题递归分解为子问题,处理子问题内部和子问题之间的影响,最后合并结果。算法主要分为三个步骤:分、治、合。以下是详细解释: - **分(Divide)**:将输入数据(如点集)按某一维度(通常是时间或索引)分成两个大致相等的子集,记为左子集$L$和右子集$R$。例如,给定点集$P = \{P_1, P_2, \dots, P_n\}$,其中每个点$P_i = (a_i, b_i, c_i)$表示三维坐标,我们按第一维$a_i$排序并分割: $$ \text{mid} = \left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor $$ 这样得到$L = \{P_i \mid i \leq \text{mid}\}$和$R = \{P_i \mid i > \text{mid}\}$。递归地对$L$和$R$应用相同过程。 - **治(Conquer)**:递归处理左子集$L$和右子集$R$,解决子问题内部的偏序关系。例如,在三维偏序问题中,目标是统计每个点$P_i$满足$a_j \leq a_i, b_j \leq b_i, c_j \leq c_i$的点数$j$($j \neq i$)。递归调用确保子集内部的问题被解决。 - **合(Merge)**:合并子问题结果,并处理跨越子集$L$和$R$的影响。这是CDQ分治的关键: - 使用辅助数据结构(如树状数组或线段树)高效处理跨子集贡献。 - 例如,在三维偏序中,合并时需统计$L$中的点对$R$中点的贡献。具体做法: 1. 对$L$和$R$按第二维$b_i$排序。 2. 遍历$R$中的每个点$P_j$,同时维护一个树状数组,用于记录第三维$c_i$的累积值。 3. 对于$P_j$,查询树状数组中满足$c_k \leq c_j$的点数($k$来自$L$),并累加到结果。 这确保了跨子集贡献在$O(n \log n)$时间内完成。 整个算法的时间复杂度为$O(n \log^2 n)$,其中$n$是数据规模。递归公式可表示为: $$ T(n) = 2T\left(\frac{n}{2}\right) + O(n \log n) $$ 其中$O(n \log n)$来自合并步骤的排序和树状数组操作。CDQ分治通过“分而治之”高效处理了偏序关系[^1]。 #### 2. CDQ分治的应用场景 CDQ分治特别适合离线查询问题,其中数据点固定,查询可批量处理。常见应用包括: - **三维偏序问题**:如统计逆序对或点对关系。例如,在竞赛中,给定点集统计每个点“支配”的点数(即所有维度都小于等于该点的点)。CDQ分治能高效解决,时间复杂度优于暴力$O(n^2)$。 - **动态规划优化**:用于优化序列问题,如最长上升子序列(LIS)或斜率优化问题。通过分治处理状态转移,减少计算量。 - **离线查询处理**:在数据库或算法中,处理批量查询,如区间统计或范围查询。CDQ分治将查询排序后递归处理,避免实时开销。 - **其他领域**:在计算几何(如最近点对问题)和机器学习数据预处理中也有应用,但需结合具体算法调整。 CDQ分治的优势在于其通用性和效率,但要求问题具有“可分治性”,即子问题独立且合并步骤可高效实现。实际应用中,常结合树状数组等数据结构提升性能。 #### 相关问题 1. CDQ分治如何处理更高维度的偏序问题(如四维偏序)? 2. CDQ分治与普通分治算法的主要区别是什么? 3. CDQ分治在动态规划优化中的具体实现案例? [^1]: 分治思想的核心是递归分解问题,然后合并结果,这在CDQ分治中得到充分体现,如分割点集并递归处理子问题。 [^2]: 算法理论常参考经典书籍,但CDQ分治更常见于竞赛和算法论文。
评论
添加红包

请填写红包祝福语或标题

红包个数最小为10个

红包金额最低5元

当前余额3.43前往充值 >
需支付:10.00
成就一亿技术人!
领取后你会自动成为博主和红包主的粉丝 规则
hope_wisdom
发出的红包
实付
使用余额支付
点击重新获取
扫码支付
钱包余额 0

抵扣说明:

1.余额是钱包充值的虚拟货币,按照1:1的比例进行支付金额的抵扣。
2.余额无法直接购买下载,可以购买VIP、付费专栏及课程。

余额充值