复变函数论4-解析函数的幂级数表示法2-幂级数1-幂级数的敛散性2-1：Abel/阿贝尔定理【若幂级数在点z₁收敛，则必在圆|z−a|＜|z₁-a|（以a为心，圆周通过z₁）内绝对收敛且内闭一致收敛】

原创已于 2024-05-06 23:48:32 修改 · 1k 阅读

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于 2024-03-25 23:33:12 首次发布

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阿贝尔定理指出，如果幂级数在某点 z1 收敛，那么它将在以 a 为中心，半径小于 z1 到 a 距离的圆内绝对且内闭一致收敛。该结论有助于理解幂级数的敛散性质。

具有

$∑n=0∞cn(z−a)n=c0+c1(z−a)+c2(z−a)2+⋯(4.4)\sum_{n=0}^{\infty} c_{n}(z-a)^{n}=c_{0}+c_{1}(z-a)+c_{2}(z-a)^{2}+\cdots \quad\quad(4.4)$

形式的复函数项级数称为幂级数, 其中 $c0,c1,c2,⋯c_{0}, c_{1}, c_{2}, \cdots$ 和 $a$ 都是复常数.

为了搞清它的敛散性, 先建立下述定理,通常称为阿贝尔 (Abel) 定理.

定理 4.11

如果幂级数 (4.4) 在某点 $z1(≠a)z_{1}(\neq a)$ 收敛, 则它必在圆 $K : ∣ z - a ∣ <$ $∣z1−a∣\left|z_{1}-a\right|$ （即以 $a$ 为圆心, 圆周通过 $z_{1}$ 的圆）内绝对收敛且内闭一致收敛.

证
设 $z$ 是所述圆 $K$ 内的任意定点. 因为 $∑n=0∞cn(z1−a)n\sum_{n=0}^{\infty} c_{n}\left(z_{1}-a\right)^{n}$ 收敛,它的各项必然有界, 即有正数 $M$ , 使

$),\left|c_{n}\left(z_{1}-a\right)^{n}\right| \leqslant M \quad(n=0,1,2, \cdots),$

这样一来, 即有

$∣cn(z−a)n∣=∣cn(z1−a)n(z−az1−a)n∣⩽M∣z−az1−a∣n,\left|c_{n}(z-a)^{n}\right|=\left|c_{n}\left(z_{1}-a\right)^{n}\left(\frac{z-a}{z_{1}-a}\right)^{n}\right| \leqslant M\left|\frac{z-a}{z_{1}-a}\right|^{n},$

注意到 $∣z−a∣<∣z1−a∣|z-a|<\left|z_{1}-a\right|$ , 故级数

$∑n=0∞M∣z−az1−a∣n\sum_{n=0}^{\infty} M\left|\frac{z-a}{z_{1}-a}\right|^{n}$

为收敛的等比级数.因而 $∑n=0∞cn(z−a)n\sum_{n=0}^{\infty} c_{n}(z-a)^{n}$ 在圆 $K$ 内绝对收敛.

其次, 对 $K$ 内任一闭圆 $Kˉρ:∣z−a∣⩽ρ(0<ρ<∣z1−a∣)\bar{K}_{\rho}:|z-a| \leqslant \rho\left(0<\rho<\left|z_{1}-a\right|\right)$ 上的一切点来说, 有

$∣cn(z−a)n∣⩽M∣z−az1−a∣n⩽M(ρ∣z1−a∣)n,\left|c_{n}(z-a)^{n}\right| \leqslant M\left|\frac{z-a}{z_{1}-a}\right|^{n} \leqslant M\left(\frac{\rho}{\left|z_{1}-a\right|}\right)^{n},$