POJ 1845 【数论】

题目链接：POJ 1845

题意

求$a^b$的所有约数之和，最终结果对9901求模

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需要知识

1、快速幂：二分法求$n^m$的结果
2、因数分解：遍历求出所有因数
3、约数和定理：假设n=${p_1}^{a_1} * {p_2}^{a_2} * ...{p_n}^{a_n}$, 其中$p_i$都是素数，
那么n的约束之和f(n)=$(1 + {p_1} ^ 1 + ...{p_1}^{a_1}) * (1 + {p_2} ^ 1 + ...{p_2}^{a_2})...(1 + {p_n} ^ 1 + ...{p_n}^{a_n})$。

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题目分析

题目是求$a^b$的约数之和，那么假设a=${p_1}^{a_1} * {p_2}^{a_2} * ...{p_n}^{a_n}$，
则$a^b$=$({p_1}^{a_1} * {p_2}^{a_2} * ...{p_n}^{a_n})^b$=${p_1}^{a_1*b} * {p_2}^{a_2*b} * ...{p_n}^{a_n*b}$，
从约数和定理可知，$a^b$的约数之和 f($a^b$) = $(1 + {p_1} ^ 1 + ...{p_1}^{a_1*b}) * (1 + {p_2} ^ 1 + ...{p_2}^{a_2*b})...(1 + {p_n} ^ 1 + ...{p_n}^{a_n*b})$.

回到一般情况，这样就转化成求$1 + {p} ^ 1 + ...{p}^{n}$.
假设n是奇数，则一共有偶数项，此时$1 + {p} ^ 1 + ...{p}^{n}$=$(1 + p^{\frac{n}{2}+1}) * (1 + p^1 + ...p^{\frac{n}{2}})$.
例如n = 5时，$1 + p ^ 1 + p ^ 2 + p ^ 3 + p ^ 4 + p ^ 5$ = $(1 + p^3)(1 + p + p^2)$

假设n是偶数，则一共有奇数项，这个时候我们将最后一项单独计算，剩下的就是偶数项，可以按照上面的方法进行计算。
此时$1 + {p} ^ 1 + ...{p}^{n}$ = $(1 + p^{\frac{n}{2}}) * (1 + p^1 + ...p^{\frac{n}{2} -1}) + p ^n$
例如n = 6时，$1 + p ^ 1 + p ^ 2 + p ^ 3 + p ^ 4 + p ^ 5 + p ^ 6$ = $(1 + p^3)(1 + p + p^2) + p ^ 6$
这样根据奇偶性递归下去即可求出$1 + {p} ^ 1 + ...{p}^{n}$的结果。

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思路总结

假设a=${p_1}^{a_1} * {p_2}^{a_2} * ...{p_n}^{a_n}$，
则$a^b=({p_1}^{a_1} * {p_2}^{a_2} * ...{p_n}^{a_n})^b$=${p_1}^{a_1*b} * {p_2}^{a_2*b} * ...{p_n}^{a_n*b}$

（1）根据约数和定理，题目所有的结果转化成
求$(1 + {p_1} ^ 1 + ...{p_1}^{a_1*b}) * (1 + {p_2} ^ 1 + ...{p_2}^{a_2*b})...(1 + {p_n} ^ 1 + ...{p_n}^{a_n*b})$的结果
（2）对于每项$p_i$和$a_i$，求出$(1 + {p_i} ^ 1 + {p_i} ^ 2 +...{p_i}^{a_i*b})$,利用上面分析的奇偶性递归下去即可求出。
（3）相乘起来即为答案。

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注意点

根据题目数据情况，数据类型要用long long int
如果a是素数需要特别判断

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代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;

typedef long long int LL;
const LL mod = 9901;

//二分求a的b次方
LL pow_mod(LL a, LL b){ 
    LL ret = 1;
    while(b != 0){
        if(b % 2 == 1){
            ret = (ret * a) % mod ;
        }
        a = (a * a ) % mod ;
        b /= 2;
    }
    return ret;
}
// 根据奇偶性求q的各次方之和
LL OneToN(LL q, LL n){
    if(n == 0)
        return 1;
    if(n % 2 == 1)
        return ( (1 + pow_mod(q,n/2+1) ) * OneToN(q,n/2) ) % mod;
    else 
        return ( (1 + pow_mod(q,n/2) ) * OneToN(q, n/2 - 1) + pow_mod(q,n)) % mod; 
}

int main(){
    LL a ,b;
    scanf("%lld %lld", &a , &b);
    LL ans = 1;
    LL n = a;
    // cnt 是指数， i 是底数
    for(LL i = 2 ; i * i <= n; i++){
        int cnt = 0;
        while(n % i == 0){
            cnt++;
            n /= i;
        }
        if(cnt != 0)
            ans = ( ans * OneToN(i, cnt * b) ) % mod;
    }
    // 特判
    if(n > 1)
        ans = ( ans * OneToN(n, b) ) % mod;
    printf("%lld\n",ans);
}