LeetCode -- 96. Unique Binary Search Trees

题目：

Given n, how many structurally unique BST’s (binary search trees) that store values 1…n?

For example,
Given n = 3, there are a total of 5 unique BST’s.

   1         3     3      2      1
    \       /     /      / \      \
     3     2     1      1   3      2
    /     /       \                 \
   2     1         2                 3

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思路：
这是一道动态规划题，有一定难度，主要是得发现其中的规律，然后写出状态转移方程，编码就比较简单了。我们先来分析一波规律：

1. n = 0，树为空，只有1种结构，$d[0] = 1$;
2. n = 1，只有一个根结点的单结点树，也是只有1种结构，$d[1] = 1$;
3. n = 2，两个结点，有两种结构，“1”为根结点，或者“2”为根结点，$d[2] = 2$；

4. 分析题目中n = 3的情况：

   • “1”为根结点，左子树为空，右子树结点数为2，所以共有$d[0] \times d[2]$;
   • “2”为根结点时，左子树和右子树结点数均为1，所以共有$d[1] \times d[1]$;
   • “3”为根结点，左子树结点数为2，右子树为空，所以共有$d[2] \times d[0]$;

   综上，所以n = 3时，$d[3] = d[0] \times d[2] +d[1] \times d[1] + d[2] \times d[0] = 5$;

5. 分析n = 4的情况：

   • “1”为根结点，左子树为空，右子树结点数为3，所以共有$d[0] \times d[3]$;
   • “2”为根结点时，左子树结点数为1，右子树结点数均为2，所以共有$d[1] \times d[2]$;
   • “3”为根结点，左子树结点数为2，右子树结点数为1，所以共有$d[2] \times d[1]$;
   • “4”为根结点，左子树结点数为3，右子树为空，所以共有$d[3] \times d[0]$;

综上，所以n = 4时，$d[3] = d[0] \times d[3] +d[1] \times d[2] + d[2] \times d[1] +d[3] \times d[0]$;

至此，我们总结出状态转移方程：

$$d[i]=\left\{ \begin{array}{cc} 1, &i = 0或1；\\ 2,&i=2;\\ \sum_{j=0,k=i-1}^{j=i-1,k=0}d[j]\times d[k],&i>2; \end{array} \right.$$

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C++代码：

class Solution {
public:
    int numTrees(int n) {
        int d[100]={1,1,2};
        for(int i=3;i<=n;i++)
        {
            for(int j=0,k=i-1;j<i,k>=0;j++,k--)
            {
                d[i] += d[j]*d[k];
            }
        }
        return d[n];
    }
};