HDU1021 Fibonacci Again （同余）

最新推荐文章于 2024-07-21 10:00:00 发布

Jonariguez

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分类专栏： HDU 数论文章标签：数论

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探讨了一种特殊的斐波那契数列，其初始值为7和11，之后每一项为前两项之和。文章通过分析数列中哪些项能被3整除的规律，提出了一种高效的算法来解决这一问题。

Fibonacci Again

Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 65536/32768 K (Java/Others)
Total Submission(s): 37002 Accepted Submission(s): 17876

Problem Description

There are another kind of Fibonacci numbers: F(0) = 7, F(1) = 11, F(n) = F(n-1) + F(n-2) (n>=2).

Input

Input consists of a sequence of lines, each containing an integer n. (n < 1,000,000).

Output

Print the word "yes" if 3 divide evenly into F(n).

Print the word "no" if not.

Sample Input

Sample Output

no
no
yes
no
no
no

这是一道变换了的斐波那契数列，但是你如果写成递归函数的话内存是不够的，因为n的范围很大，如果你把前20项打出来的话，你会发现规律：就是从2开始是yes，每隔4个就是yes，其余是no。按这个规律编程绝对没问题，但是我还是愿意在这里证明一下其正确性。

我们看前七项，并设为ai：

7 11 18 29 47 76 123

a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7

易知a3和a7是能被3整除的，其实如果只知道a3能被3整除，就能推出a7也能被3整除：

a7 = a5 + a6

= a3 + a4 + a4 + a5

= a3 + a4 + a4 + a3 + a4

= 2*a3 + 3*a4

因为a3能被3整除，所以2*a3能被3整除，且3*a4肯定也能被3整除，所以a7能被3整除。

现在来证明 a4，a5，a6不能被3整除：

① a4=a2+a3 a2不能，a3能，所以a4不能；

② a5=a3+a4 a3能，a4不能，所以a5不能；

③a6=a4 + a5

=a4 + a3 + a4

=a3 + 2*a4

a3能，2*a4不能，所以a6不能；

#！：一个整数不能被3整除，那么这个数的2倍也不能被3整除。

运用数学归纳法将其推广到n即可，一样能保证其正确性，在此不再多做证明。

代码就很简单了：

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <math.h>

int main()
{
	int i,n,k;
	while(scanf("%d",&n)!=EOF)
	{
		if(n%4==2)
			printf("yes\n");
		else
			printf("no\n");
	}
	return 0;
}

其实这个题还能用同余的知识来解释：c=a+b则c%3=a%3+b%3。由此可以预处理答案。

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define N 3		//不光能判断3，可以判断任意正整数
const int maxn=1000000+10;

int d[maxn];

void pre_solve(){
	int i;
	d[0]=7%N,d[1]=11%N;
	for(i=2;i<=1000000;i++)
		d[i]=(d[i-1]+d[i-2])%N;
}

int main()
{
	int n;
	pre_solve();
	while(scanf("%d",&n)!=EOF){
		if(!d[n]) 
			puts("yes");
		else
			puts("no");
	}
	return 0;
}