数学中几种常用的距离

最新推荐文章于 2023-03-20 16:59:53 发布

SuPhoebe

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分类专栏：数学建模机器学习与数学模型文章标签：数学建模机器学习

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本文介绍了数学中常见的距离度量，包括欧氏距离、曼哈顿距离、切比雪夫距离、闵可夫斯基距离、标准化欧氏距离、马氏距离、夹角余弦、汉明距离、杰卡德相似系数和相关距离。这些距离在数学建模、机器学习等领域有广泛应用，选择合适的距离度量对分析和分类的准确性至关重要。

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数学中有很多不同种类的距离，常用于几何、高等代数等数学研究。

多种多样的距离在数学建模、计算机学习中有着不小的应用。

比如，A*搜索时的评估函数。

比如，在机器学习中，做分类时常常需要估算不同样本之间的相似性度量(Similarity Measurement)，这时通常采用的方法就是计算样本间的距离。采用什么样的方法计算距离是很讲究，甚至关系到分类的正确与否。

欧氏距离是最易于理解的一种距离计算方法，源自欧几里得几何中两点间的距离公式。

(1)二维平面上两点 $a(x_1,y_1)$ 与 $b(x_2,y_2)$ 间的欧氏距离：

(2)两个n维向量 $a(x_{11},x_{12},…,x_{1n})$ 与 $b(x_{21},x_{22},…,x_{2n})$ 间的欧氏距离：

也可以用表示成向量运算的形式：

(4)Matlab计算欧氏距离

Matlab计算距离主要使用pdist函数。若 $X$ 是一个 $M×N$ 的矩阵，则pdist(X)将 $X$ 矩阵 $M$ 行的每一行作为一个 $N$ 维向量，然后计算这 $M$ 个向量两两间的距离。

例子：计算向量 $(0,0)、(1,0)、(0,2)$ 两两间的欧式距离

X = [0 0 ; 1 0 ; 0 2]

D = pdist(X,'euclidean') %大家可以去查一查pdist的参数

结果：

D =

    1.0000    2.0000    2.2361

从名字就可以猜出这种距离的计算方法了。想象你在曼哈顿要从一个十字路口开车到另外一个十字路口，驾驶距离是两点间的直线距离吗？显然不是，除非你能穿越大楼。实际驾驶距离就是这个“曼哈顿距离”。而这也是曼哈顿距离名称的来源，曼哈顿距离也称为城市街区距离(City Block distance)。

(1)二维平面两点 $a(x_1,y_1)$ 与 $b(x_2,y_2)$ 间的曼哈顿距离

(2)两个n维向量 a(x11,x12,…,