最长公共子串问题的后缀数组解法

最新推荐文章于 2025-04-12 10:35:28 发布

SuPhoebe

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分类专栏：前缀 & 后缀

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/u013007900/article/details/43209793

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本文介绍了如何使用后缀数组来解决求解多个字符串的最长公共子串问题。通过将所有字符串连接并添加独特分隔符，然后构建后缀数组和Height数组，利用二分查找和验证策略确定最长公共子串的长度。这种方法的时间复杂度为O(NL)，其中N是字符串数量，L是所有字符串的总长度。文章还提供了例题和优化后的检查方法。

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求N个串的最长公共子串，可以转化为求一些后缀的最长公共前缀的最大值，这些后缀应分属于N个串。具体方法如下：

设N个串分别为S1,S2,S3,...,SN，首先建立一个串S，把这N个串用不同的分隔符连接起来。S=S1[P1]S2[P2]S3...SN-1[PN-1]SN，P1,P2,...PN-1应为不同的N-1个不在字符集中的字符，作为分隔符(后面会解释为什么)。

接下来，求出字符串S的后缀数组和Height数组，可以用倍增算法，或DC3算法

二分枚举答案A，假设N个串可以有长度为A的公共字串，并对A的可行性进行验证。如果验证A可行，A'(A'<A)也一定可行，尝试增大A，反之尝试缩小A。最终可以取得A的最大可行值，就是这N个串的最长公共子串的长度。可以证明，尝试次数是O(logL)的。

于是问题就集中到了，如何验证给定的长度A是否为可行解。方法是，找出在Height数组中找出连续的一段Height[i..j]，使得i<=k<=j均满足Height[k]>=A，并且i-1<=k<=j中，SA[k]分属于原有N个串S1..SN。如果能找到这样的一段，那么A就是可行解，否则A不是可行解。

具体查找i..j时，可以先从前到后枚举i的位置，如果发现Height[i]>=A，则开始从i向后枚举j的位置，直到找到了Height[j+1]<A，判断[i..j]这个区间内SA是否分属于S1..SN。如果满足，则A为可行解，然后直接返回，否则令i=j+1继续向后枚举。S中每个字符被访问了O(1)次，S的长度为NL+N-1，所以验证的时间复杂度为O(NL)。

到这里，我们就可以理解为什么分隔符P1..PN-1必须是不同的N-1个不在字符集中的字符了，因为这样才能保证S的后缀的公共前缀不会跨出一个原有串的范围。

例题POJ 3050：