最优化方法Python计算：标准型线性规划的单纯形算法

对可行的线性规划问题，
$$\{\begin{array}{l}\text{minimize}{\mathbf{c}}^{\top }\mathbf{x}\\ \text{s.t.}\mathbf{Ax}=\mathbf{b}\\ \mathbf{x}\ge \mathbf{o}\end{array}(1)$$
设$\mathbf{B}$为一基矩阵，$\mathbf{N}$为对应的非基矩阵。在没遇到判别向量$\mathbf{z}-{\mathbf{c}}_N^{\top }\le \mathbf{o}$前，轴转操作可重复进行。每做一次，目标函数在新的基本可行解处的函数值都会有所减小。其中，$\mathbf{z}={\mathbf{c}}_{\mathbf{B}}^{\top }{\mathbf{B}}^{-1}\mathbf{N}$。$\mathbf{z}-{\mathbf{c}}_N^{\top }$称为判别向量。直至判别向量非正，则得到最优解。在轴转过程中，选的入基向量下标$e$后，向量${\mathbf{y}}_e={\mathbf{B}}^{-1}{\mathbf{\alpha }}_e$若非正，则遇到了无界问题，自然无需继续轴转。利用轴转操作时这两个向量的特性，我们可以对可行（具有初始基本可行解）的线性规划（1），写出如下的单纯形算法实现函数。

import numpy as np												#导入numpy
def simplex(A, b, c, Bind, Nind):
    B = A[:, Bind]												#初始基矩阵
    B1 = np.linalg.inv(B)										#基矩阵的逆
    w = np.matmul(c[Bind], B1)
    z = np.matmul(w, A[:,Nind]).flatten()						#构造判别式中的z
    while not(z - c[Nind] <= 1e-10).all():
        infinite, Bind, Nind, z=pivot(A, b, c, Bind, Nind, z)	#轴转
        if infinite:
            print("无界问题...", end=',')
            return None
    return Bind

程序的第2~12行定义的函数simplex，参数A，b，c分别表示标准型线性规划(6.1)的等式约束系数矩阵$\mathbf{A}$，常数向量$\mathbf{b}$和目标函数系数向量$\mathbf{c}$。Bind和Nind分别表示初始基矩阵$\mathbf{B}$的列向量下标和非基矩阵$\mathbf{N}$的列向量下标。函数体内第3行根据Bind计算基矩阵$\mathbf{B}$赋予B。第4行计算${\mathbf{B}}^{-1}$赋予B1。第5~6行计算向量$\mathbf{z}={\mathbf{c}}_{\mathbf{B}}^{\top }{\mathbf{B}}^{-1}\mathbf{N}$。第7~11行的while循环，在$\mathbf{z}-c_{\mathbf{N}}^{\top }$中存在正数元素的条件下迭代轴转操作。其中，第8行调用博文《最优化方法Python计算：标准型线性规划的轴转操作》定义的pivot函数，对当前的基矩阵$\mathbf{B}$和非基矩阵$\mathbf{N}$及向量$\mathbf{z}$