最优化方法Python计算：标准型线性规划的辅助问题

对标准型线性规划
$$\{\begin{array}{l}\text{minimize}{\mathbf{c}}^{\top }\mathbf{x}\\ \text{s.t. }\mathbf{Ax}=\mathbf{b}\\ \mathbf{x}\ge \mathbf{o}\end{array}(1)$$
其中$\mathbf{A}\in {\text{R}}^{m\times n}$，且rank$\mathbf{A}=m\le n$，$\mathbf{b}\ge \mathbf{o}$。假定$\mathbf{A}$中存在部分列向量${\mathbf{\alpha }}_{I_1},\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_{I_{m_1}}$构成单位阵${\mathbf{I}}_m$的一部分。其中，$m_i\le m$。记$n_1=m-m_1$，$\mathbf{E}$为${\mathbf{I}}_m$中去掉${\mathbf{\alpha }}_{I_1},\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_{I_{m_1}}$剩下的部分，则$\mathbf{E}\in {\text{R}}^{m\times n_1}$。引入人工变量${\mathbf{x}}_a\in {\text{R}}^{n_1}=\left(\begin{array}{c}{x}_{a_1}\\ ⋮\\ x_{a_{n_1}}\end{array}\right)$，令${\mathbf{A}}^{\prime }=(\mathbf{A},\mathbf{E})$，构造线性规划
$$\{\begin{array}{l}\text{minimize}{\mathbf{e}}^{\top }{\mathbf{x}}_a\\ \text{s.t. }{\mathbf{A}}^{\prime }\left(\begin{array}{c}\mathbf{x}\\ {\mathbf{x}}_a\end{array}\right)=\mathbf{Ax}+{\mathbf{Ex}}_a=\mathbf{b}\\ \mathbf{x},{\mathbf{x}}_a\ge \mathbf{o}\end{array}(2)$$
其中，$\mathbf{e}\in {\text{R}}^n$，所有元素均为1。(2)称为线性规划(1)的辅助线性规划。辅助问题总有一个明显的初始基矩阵：